Kurven: Geraden, Kegelschnitte und Parameterkurven
Eine Kurve ist der Weg eines bewegten Punktes. Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel sind die vier Kegelschnitte: Sie entstehen, wenn eine ebene Fläche einen Kegel unter verschiedenen Neigungen schneidet. Ein waagerechter Schnitt ergibt einen Kreis, eine leichte Neigung eine Ellipse, ein Schnitt parallel zur Mantellinie eine Parabel, und ein steiler Schnitt durch beide Hälften eines Doppelkegels eine Hyperbel. Ihre Gleichungen findest du unter Kegelschnitte.
Eine Kurve kann man auch mit einem Parameter beschreiben: x = f(t) und y = g(t). Zum Beispiel zeichnen x = cos t, y = sin t einen Kreis, wenn t von 0 bis 2π läuft. Das ist die Idee hinter den Parametergleichungen.
Konstruktionen: genau zeichnen
Bei einer Konstruktion zeichnet man eine Figur nur mit einem Lineal ohne Skala und einem Zirkel. Man kann einen Winkel halbieren, eine Mittelsenkrechte zeichnen, einen Winkel kopieren und ein gleichseitiges Dreieck bauen. Jeder Schritt nutzt, dass alle Punkte eines Kreises denselben Abstand zum Mittelpunkt haben. Die Einzelheiten stehen unter Geometrische Konstruktionen.
Warum das hier wichtig ist: Mit Konstruktionen zeichnete man Umrisskurven und Querschnitte von Flächen, lange bevor es Computer gab.
Rotationsflächen
Eine Fläche ist eine dünne Haut im Raum, auf der man sich in zwei Richtungen bewegen kann. Eine Rotationsfläche entsteht, wenn man eine Profilkurve um eine gerade Linie dreht, die Achse heißt. Hat das Profil in der Höhe y den Abstand r(y) von der Achse, dann erfüllt jeder Punkt der Fläche x² + z² = r(y)².
Beispiele bei senkrechter Achse: Eine senkrechte Gerade r = konstant ergibt einen Zylinder; eine schräge Gerade r = k|y| einen Kegel; eine Parabel ein Paraboloid (Schale); und eine Hyperbel ein Hyperboloid (Kühlturm).
Eine Fläche schneiden (Querschnitte)
Schneide die Fläche mit einer ebenen Fläche in der Höhe y. Bei einer Rotationsfläche ist ein Schnitt quer zur Achse immer ein Kreis mit dem Radius r(y). Sein Flächeninhalt ist πr². Ein Schnitt entlang der Achse zeigt die Profilkurve selbst.
Derselbe Trick funktioniert bei jedem Körper: Um eine Fläche zu verstehen, schneide sie und schau dir die entstehenden Kurven an.
Wichtige Formeln und Definitionen
- Rotationsfläche um die y-Achse: x² + z² = r(y)²
- Zylinder: r(y) = c (konstant)
- Kegel: r(y) = k·y
- Kreisschnitt: Fläche = π·r(y)²
- Kreis in Parameterform: x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π
- Ellipse in Parameterform: x = a cos t, y = b sin t
Gelöste Beispiele
1. Eine senkrechte Gerade im Abstand 3 cm von der Achse wird um die Achse gedreht. Nenne die Fläche und gib den Radius eines Schnitts an.
Das Profil ist r = 3, also konstant, daher ist die Fläche ein Zylinder. Jeder Schnitt ist ein Kreis mit dem Radius 3 cm.
2. Ein Kegel hat r(y) = 0.5y. Berechne den Radius des Schnitts bei y = 4.
r = 0.5 × 4 = 2. Der Schnitt ist ein Kreis mit dem Radius 2.
3. Für den Kegel r = 0.5y: Berechne den Flächeninhalt des Schnitts bei y = 4.
Fläche = π r² = π × 2² = 4π ≈ 12.57 Quadrateinheiten.
4. Ein Turm hat r(y) = √(1 + y²), wobei y von der Mitte aus gemessen wird. Berechne den Radius an der engsten Stelle und bei y = 3.
Bei y = 0 ist r = √1 = 1: die Taille, die schmalste Stelle. Bei y = 3 ist r = √(1 + 9) = √10 ≈ 3.16. An den Enden ist er breiter.
5. Eine Ebene schneidet einen Kegel parallel zu seiner schrägen Seite. Welcher Kegelschnitt entsteht?
Eine Parabel. Ein waagerechter Schnitt ergibt einen Kreis, eine kleine Neigung eine Ellipse, ein Schnitt parallel zur Seite eine Parabel und ein steiler Schnitt durch beide Hälften eine Hyperbel.
Häufige Fehler
- Zu denken, die Profilkurve und die Fläche seien dasselbe. Die Fläche ist das, was die Kurve beim Drehen überstreicht.
- Zu vergessen, dass x² + z² = r² für jedes feste y ein Kreis ist und nicht eine einzelne flache Kurve.
- Kegel und Paraboloid zu verwechseln. Ein gerades Profil ergibt einen Kegel, eine gebogene Parabel eine Schale.
- Jede Schnittfigur einen Kreis zu nennen. Ein Schnitt quer zur Achse ist ein Kreis, aber ein schräger Schnitt durch einen Kegel kann eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel sein.