Curvas: rectas, cónicas y caminos paramétricos
Una curva es el camino de un punto en movimiento. La circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola son las cuatro secciones cónicas: aparecen cuando un plano corta un cono con distintas inclinaciones. Un corte horizontal da una circunferencia, una pequeña inclinación da una elipse, un corte paralelo a la generatriz da una parábola, y un corte muy inclinado que atraviesa las dos mitades de un cono doble da una hipérbola. Mira Secciones cónicas para ver sus ecuaciones.
Una curva también se puede escribir con un parámetro: x = f(t) y y = g(t). Por ejemplo, x = cos t, y = sin t dibuja una circunferencia cuando t va de 0 a 2π. Esta es la idea de las Ecuaciones paramétricas.
Construcciones: dibujar con exactitud
Una construcción dibuja una figura usando solo una regla sin marcas y un compás. Puedes trazar la bisectriz de un ángulo, la mediatriz de un segmento, copiar un ángulo y construir un triángulo equilátero. Cada paso usa que todos los puntos de una circunferencia están a la misma distancia del centro. Los detalles están en Construcciones geométricas.
Por qué importa aquí: así se dibujaban las curvas de contorno y los cortes de las superficies mucho antes de los ordenadores.
Superficies de revolución
Una superficie es una piel delgada en 3D, con dos direcciones sobre ella. Una superficie de revolución se forma al girar una curva perfil alrededor de una recta llamada eje. Si el perfil está a una distancia r(y) del eje a la altura y, entonces cada punto de la superficie cumple x² + z² = r(y)².
Ejemplos con el eje vertical: una recta vertical r = constante da un cilindro; una recta inclinada r = k|y| da un cono; una parábola da un paraboloide (cuenco); y una hipérbola da un hiperboloide (torre de enfriamiento).
Cortar una superficie (secciones transversales)
Corta la superficie con un plano a la altura y. En una superficie de revolución, un corte perpendicular al eje siempre es un círculo de radio r(y). Su área es πr². Un corte a lo largo del eje muestra la propia curva perfil.
El mismo truco sirve para cualquier sólido: para entender una superficie, córtala y mira las curvas que salen.
Fórmulas y definiciones clave
- Superficie de revolución alrededor del eje y: x² + z² = r(y)²
- Cilindro: r(y) = c (constante)
- Cono: r(y) = k·y
- Corte circular: área = π·r(y)²
- Circunferencia con parámetro: x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π
- Elipse con parámetro: x = a cos t, y = b sin t
Ejemplos resueltos
1. Una recta vertical a 3 cm del eje gira alrededor del eje. Nombra la superficie y da el radio de un corte.
El perfil es r = 3, una constante, así que la superficie es un cilindro. Todos los cortes son círculos de radio 3 cm.
2. Un cono tiene r(y) = 0.5y. Halla el radio del corte en y = 4.
r = 0.5 × 4 = 2. El corte es un círculo de radio 2.
3. Para el cono r = 0.5y, halla el área del corte en y = 4.
Área = π r² = π × 2² = 4π ≈ 12.57 unidades cuadradas.
4. Una torre tiene r(y) = √(1 + y²), con y medida desde el centro. Halla el radio en la cintura y en y = 3.
En y = 0, r = √1 = 1: es la cintura, la parte más estrecha. En y = 3, r = √(1 + 9) = √10 ≈ 3.16. Es más ancha en los extremos.
5. Un plano corta un cono paralelo a su lado inclinado. ¿Qué cónica aparece?
Una parábola. Un corte horizontal da una circunferencia, una pequeña inclinación una elipse, un corte paralelo al lado una parábola, y un corte muy inclinado por las dos mitades una hipérbola.
Errores comunes
- Pensar que la curva perfil y la superficie son lo mismo. La superficie es lo que la curva dibuja al girar.
- Olvidar que x² + z² = r² es una circunferencia para cada y fija, no una sola curva plana.
- Confundir el cono con el paraboloide. Un perfil recto da un cono; una parábola curva da un cuenco.
- Llamar círculo a todo corte. Un corte perpendicular al eje es un círculo, pero un corte inclinado de un cono puede ser una elipse, una parábola o una hipérbola.