Curve: rette, coniche e percorsi parametrici
Una curva è il percorso di un punto che si muove. La circonferenza, l'ellisse, la parabola e l'iperbole sono le quattro sezioni coniche: compaiono quando un piano taglia un cono con inclinazioni diverse. Un taglio orizzontale dà una circonferenza, un taglio leggermente inclinato dà un'ellisse, un taglio parallelo al lato inclinato dà una parabola e un taglio molto ripido, che attraversa entrambe le metà di un cono doppio, dà un'iperbole. Per le loro equazioni vedi Sezioni coniche.
Una curva si può anche scrivere con un parametro: x = f(t) e y = g(t). Per esempio x = cos t, y = sin t disegna una circonferenza quando t va da 0 a 2π. Questa è l'idea delle Equazioni parametriche.
Costruzioni: disegnare con precisione
Una costruzione disegna una figura usando soltanto una riga (un righello senza numeri) e un compasso. Puoi dividere un angolo a metà, tracciare l'asse di un segmento, copiare un angolo e costruire un triangolo equilatero. Ogni passaggio sfrutta il fatto che tutti i punti di una circonferenza sono alla stessa distanza dal centro. I dettagli sono in Costruzioni geometriche.
Perché è importante qui: le costruzioni sono il modo in cui venivano disegnate le curve dei contorni e le sezioni delle superfici molto prima dei computer.
Superfici di rotazione
Una superficie è una pelle sottile nello spazio 3D, con due direzioni lungo cui ci si può muovere. Una superficie di rotazione si ottiene facendo ruotare una curva profilo attorno a una retta chiamata asse. Se il profilo si trova alla distanza r(y) dall'asse all'altezza y, ogni punto della superficie soddisfa x² + z² = r(y)².
Esempi con l'asse verticale: una retta verticale r = costante dà un cilindro; una retta inclinata r = k|y| dà un cono; una parabola dà un paraboloide (ciotola); un'iperbole dà un iperboloide (torre di raffreddamento).
Tagliare una superficie (sezioni)
Taglia la superficie con un piano all'altezza y. In una superficie di rotazione, un taglio perpendicolare all'asse è sempre una circonferenza di raggio r(y). La sua area è πr². Un taglio lungo l'asse mostra la curva profilo stessa.
Lo stesso trucco funziona con qualsiasi solido: per capire una superficie, tagliala e guarda le curve che ottieni.
Formule e definizioni chiave
- Superficie di rotazione attorno all'asse y: x² + z² = r(y)²
- Cilindro: r(y) = c (costante)
- Cono: r(y) = k·y
- Sezione circolare: area = π·r(y)²
- Circonferenza in forma parametrica: x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π
- Ellisse in forma parametrica: x = a cos t, y = b sin t
Esempi svolti
1. Una retta verticale a 3 cm dall'asse viene fatta ruotare attorno all'asse. Come si chiama la superficie e quanto vale il raggio di una sezione?
Il profilo è r = 3, una costante, quindi la superficie è un cilindro. Ogni sezione è una circonferenza di raggio 3 cm.
2. Un cono ha r(y) = 0.5y. Trova il raggio della sezione a y = 4.
r = 0.5 × 4 = 2. La sezione è una circonferenza di raggio 2.
3. Per il cono r = 0.5y, trova l'area della sezione a y = 4.
Area = π r² = π × 2² = 4π ≈ 12.57 unità quadrate.
4. Una torre ha r(y) = √(1 + y²), con y misurata a partire dal centro. Trova il raggio alla vita e a y = 3.
A y = 0, r = √1 = 1: è la vita, la parte più stretta. A y = 3, r = √(1 + 9) = √10 ≈ 3.16. Alle estremità è più larga.
5. Un piano taglia un cono parallelamente al suo lato inclinato. Quale conica compare?
Una parabola. Un taglio orizzontale dà una circonferenza, una piccola inclinazione un'ellisse, un taglio parallelo al lato una parabola e un taglio ripido che attraversa entrambe le metà un'iperbole.
Errori comuni
- Pensare che la curva profilo e la superficie siano la stessa cosa. La superficie è ciò che la curva disegna quando ruota.
- Dimenticare che x² + z² = r² è una circonferenza per ogni y fissato, non una sola curva piatta.
- Confondere il cono con il paraboloide. Un profilo dritto dà un cono; una parabola curva dà una ciotola.
- Chiamare circonferenza ogni sezione. Un taglio perpendicolare all'asse è una circonferenza, ma un taglio inclinato di un cono può essere un'ellisse, una parabola o un'iperbole.