曲线：直线、圆锥曲线和参数曲线
曲线是一个运动的点走过的路径。圆、椭圆、抛物线和双曲线是四种圆锥曲线：用一个平面以不同的倾斜角度去切一个圆锥，就会得到它们。平着切得到圆，稍微倾斜得到椭圆，平行于圆锥的斜边去切得到抛物线，而很陡地同时切到双圆锥两半的，得到双曲线。它们的方程见圆锥曲线。
曲线也可以用一个参数来写：x = f(t)，y = g(t)。例如 x = cos t，y = sin t，当 t 从 0 走到 2π 时就画出一个圆。这就是参数方程的思想。
尺规作图：精确地画
尺规作图只用直尺（没有刻度的尺）和圆规来画图形。你可以平分一个角、作线段的垂直平分线、复制一个角、作等边三角形。每一步都用到同一个事实：圆上每个点到圆心的距离相等。详细内容见几何作图。
为什么在这里重要：在没有电脑的年代，人们就是用作图来画外形曲线和曲面的截面。
旋转曲面
曲面是三维空间里的一层薄皮，沿着它有两个方向。旋转曲面是把一条母线（轮廓曲线）绕一条叫做轴的直线旋转得到的。如果在高度 y 处，母线到轴的距离是 r(y)，那么曲面上每个点都满足 x² + z² = r(y)²。
轴竖直时的例子：竖直的线 r = 常数，得到圆柱；倾斜的线 r = k|y|，得到圆锥；抛物线得到抛物面（碗）；双曲线得到双曲面（冷却塔）。
切开曲面（截面）
在高度 y 处用一个平面切开曲面。对旋转曲面来说，垂直于轴的切面总是一个半径为 r(y) 的圆，面积是 πr²。沿着轴切开，则能看到母线本身。
这个办法对任何立体都有用：想了解一个曲面，就切开它，看看得到的是什么曲线。
重点公式和概念
- 绕 y 轴的旋转曲面：x² + z² = r(y)²
- 圆柱：r(y) = c（常数）
- 圆锥：r(y) = k·y
- 圆形截面：面积 = π·r(y)²
- 圆的参数方程：x = cos t，y = sin t，0 ≤ t ≤ 2π
- 椭圆的参数方程：x = a cos t，y = b sin t
例题讲解
1. 一条竖直的直线，离轴 3 cm，绕轴旋转一圈。说出这个曲面的名称，并求截面的半径。
母线是 r = 3，是常数，所以曲面是圆柱。每个截面都是半径为 3 cm 的圆。
2. 圆锥满足 r(y) = 0.5y。求 y = 4 处截面的半径。
r = 0.5 × 4 = 2。截面是半径为 2 的圆。
3. 对圆锥 r = 0.5y，求 y = 4 处截面的面积。
面积 = π r² = π × 2² = 4π ≈ 12.57 平方单位。
4. 一座塔满足 r(y) = √(1 + y²)，其中 y 从塔的中间量起。求塔腰处和 y = 3 处的半径。
y = 0 时，r = √1 = 1：这是塔腰，最细的地方。y = 3 时，r = √(1 + 9) = √10 ≈ 3.16。两端更宽。
5. 一个平面平行于圆锥的斜边去切圆锥。会出现哪种圆锥曲线？
抛物线。平着切得到圆，稍微倾斜得到椭圆，平行于斜边切得到抛物线，很陡并切到两半则得到双曲线。
常见错误
- 以为母线和曲面是同一个东西。曲面是母线旋转时扫出来的形状。
- 忘了 x² + z² = r² 在每个固定的 y 处是一个圆，而不是一条单独的平面曲线。
- 把圆锥和抛物面搞混。直的母线得到圆锥；弯曲的抛物线得到碗。
- 以为切出来的都是圆。垂直于轴的切面是圆，但斜着切圆锥，可能得到椭圆、抛物线或双曲线。