三角函数：从圆到波
在半径为 1 的圆上放一个点，并把它转过一个角 θ。它的高度是 sin θ，水平位置是 cos θ。随着 θ 变大，高度升到 1，降到 −1，再回来：这是一个每 360°（2π 弧度）重复一次的波。所以正弦和余弦可以描述声音、光和钟摆的摆动。
角也可以用弧度表示：π 弧度 = 180°。在圆上永远成立：sin²θ + cos²θ = 1，因为这个点在半径为 1 的圆上。
微积分：导数（斜率）和积分（面积）
导数告诉我们某个量变化得有多快。在图像上，它是切线的斜率，切线就是在一个点上刚好碰到曲线的直线。取两个相近的点，让它们越来越近，连接它们的直线的斜率会稳定在切线的斜率上。
先学一条规则（幂函数求导）：如果 y = xⁿ，那么 dy/dx = n xⁿ⁻¹。所以 y = x² 的斜率是 2x，y = x²/4 的斜率是 x/2。
积分把许多薄片加起来，得到曲线下的面积。用长条来算：面积 ≈ (高 × 宽) 之和。长条越多越细，结果越准。对 y = xⁿ，∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)。y = x²/4 从 0 到 4 下方的面积是 4³/12 = 5.33。
导数和积分互为逆运算。这个联系叫微积分基本定理。
几何：图形和立体
在解析几何里，我们用数来描述图形。(x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 之间的距离是 √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)，圆心在 (0, 0)、半径为 r 的圆是 x² + y² = r²。
说到立体，取一个半径为 r、高 h = 2r 的圆柱。同样大小的圆锥只装得下它的三分之一，刚好放进去的球装得下它的三分之二：
V(圆柱) = πr²h，V(圆锥) = πr²h/3，V(球) = 4πr³/3。
阿基米德在两千多年前就发现了这个 1 : 2 : 3 的比。在 3D 里你可以把圆锥和球倒进圆柱：它们刚好把圆柱装满。
概率与统计
概率 = 有利结果数 ÷ 所有等可能结果数。两个骰子一共有 6 × 6 = 36 种结果。点数和为 7 有 6 种方式（1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1），所以 P(7) = 6/36 = 1/6，比 P(2) = 1/36 大。这就是中间的柱子最高的原因。
统计用来描述数据。平均数就是平均值。标准差表示数值通常偏离平均数有多远。当许多小的随机因素叠加在一起时（比如两个或更多骰子），结果的柱状图会形成一条平滑的钟形曲线，也就是正态分布。大约 68% 的数值落在平均数左右一个标准差之内。
动手试试，接着学什么
动手试试：在 3D 里掷 100 次骰子，先猜哪根柱子最高，再看结果。然后再掷 100 次。掷得越多，蓝色柱子就越接近橙色轮廓。
接下来可以继续深入学习：单位圆、导数、积分、立体几何和正态分布。
重点公式和概念
- sin²θ + cos²θ = 1; π rad = 180°
- d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹
- ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C
- V(圆柱) = πr²h; V(圆锥) = ⅓ πr²h; V(球) = 4⁄3 πr³
- P(事件) = 有利结果数 ÷ 总数; 平均数 = 总和 ÷ 个数
例题讲解
1. 若 θ 是锐角，且 cos θ = 0.6，求 sin θ。
sin²θ + cos²θ = 1，所以 sin²θ = 1 − 0.36 = 0.64。sin θ = 0.8（取正值，因为 θ 是锐角）。
2. 求 y = 3x² + 5x 在 x = 2 处的斜率。
dy/dx = 6x + 5。当 x = 2 时：6 × 2 + 5 = 17。
3. 求 y = x² 在 x = 0 到 x = 3 之间下方的面积。
面积 = ∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³ = 27/3 − 0 = 9。
4. 求半径为 3 cm 的球的体积。
V = 4⁄3 π r³ = 4⁄3 × π × 27 = 36π ≈ 113.1 cm³。
5. 掷两个均匀的骰子，求点数和为 8 的概率。
得到 8 的方式：(2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2)，共 36 种中的 5 种。P = 5/36 ≈ 0.139。
6. 求 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 的平均数和标准差。
平均数 = 40 ÷ 8 = 5。差的平方：9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16，和为 32。方差 = 32 ÷ 8 = 4。标准差 = √4 = 2。
常见错误
- 用计算器时把角度和弧度弄混。先检查模式。
- 求导时忘了把指数减 1：x³ 的导数是 3x²，不是 3x³。
- 求不定积分时忘了加 + C。
- 把骰子的结果当成 11 种等可能的情况（和为 2 到 12）。这些和并不是等可能的：等可能的结果有 36 种。