発展数学：三角関数・微分積分・図形・確率

三角関数：円から波へ

半径1の円の上に点を置き、角度 θ だけ回します。点の高さが sin θ、横の位置が cos θ です。θ が大きくなると、高さは1まで上がり、−1まで下がり、また戻ります。360°（2π ラジアン）ごとにくり返す波です。だから正弦と余弦は、音、光、振り子の揺れを表せます。

角度はラジアンでも表せます。π ラジアン = 180° です。円の上では常に sin²θ + cos²θ = 1 が成り立ちます。点が半径1の円の上にあるからです。

微分積分：微分（傾き）と積分（面積）

微分は、ものの変わる速さを表します。グラフでは接線の傾きです。接線とは、曲線に1点だけちょうど触れる直線のことです。近くの2点を結び、その2点をどんどん近づけると、結んだ直線の傾きは接線の傾きに落ち着きます。

まず覚えるルール（べき乗の公式）：y = xⁿ なら dy/dx = n xⁿ⁻¹ です。y = x² の傾きは 2x、y = x²/4 の傾きは x/2 になります。

積分は、たくさんの細い切れ端を足して、曲線の下の面積を求めます。棒で考えると、面積 ≈ （高さ × 幅）の合計です。棒が多く細いほど、答えは正確になります。y = xⁿ では ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) です。y = x²/4 の 0 から 4 までの面積は 4³/12 = 5.33 です。

微分と積分は、たがいに逆の操作です。このつながりを微分積分学の基本定理といいます。

図形：形と立体

座標幾何では、形を数で表します。(x₁, y₁) と (x₂, y₂) の距離は √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) で、中心 (0, 0)、半径 r の円は x² + y² = r² です。

立体では、半径 r、高さ h = 2r の円柱を考えます。同じ大きさの円錐は円柱の3分の1、ちょうど中に収まる球は3分の2の体積です。

V(円柱) = πr²h、V(円錐) = πr²h/3、V(球) = 4πr³/3

アルキメデスは、この 1：2：3 の比を2,000年以上前に見つけました。3Dでは、円錐と球を円柱に注げます。ぴったり満たされます。

確率と統計

確率 = 起こってほしい結果の数 ÷ 同様に確からしいすべての結果の数。サイコロ2個では 6 × 6 = 36 通りです。和が7になるのは6通り（1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1）なので、P(7) = 6/36 = 1/6 で、P(2) = 1/36 より大きくなります。だから真ん中の棒がいちばん高いのです。

統計はデータを表します。平均は、ならした値です。標準偏差は、値が平均からふつうどれくらい散らばるかを表します。小さな偶然がたくさん重なる（サイコロを2個以上振るなど）と、結果の棒グラフはなめらかな釣鐘型の曲線、つまり正規分布になります。値のおよそ68%は、平均から標準偏差1つ分の範囲に入ります。

やってみよう、そして次に学ぶこと

やってみよう：3Dでサイコロを100回振り、結果を見る前にどの棒がいちばん高くなるか予想しましょう。さらに100回振ります。回数が増えるほど、青い棒はオレンジの輪郭に近づきます。

次はこちらで深めましょう：単位円、微分、積分、立体図形、正規分布。

重要な公式と用語

• sin²θ + cos²θ = 1; π rad = 180°
• d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹
• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C
• V(円柱) = πr²h; V(円錐) = ⅓ πr²h; V(球) = 4⁄3 πr³
• P(事象) = 起こってほしい結果の数 ÷ 全体の数; 平均 = 合計 ÷ 個数

例題

よくある間違い

• 電卓で度とラジアンを混ぜてしまう。先にモードを確認しましょう。
• 微分するとき、指数を1つ下げ忘れる。x³ の微分は 3x² で、3x³ ではありません。
• 不定積分で + C を忘れる。
• サイコロの結果を、和 2 から 12 までの11通りが同じ確率だと数える。和の確率は等しくありません。同じ確率なのは36通りの目の組み合わせです。