Goniometrie: van cirkel naar golf
Zet een punt op een cirkel met straal 1 en draai het over een hoek θ. De hoogte van het punt is sin θ en de plek opzij is cos θ. Als θ groter wordt, gaat de hoogte omhoog naar 1, omlaag naar −1 en weer terug: een golf die zich elke 360° (2π radialen) herhaalt. Daarom beschrijven sinus en cosinus geluid, licht en de slinger van een klok.
Hoeken kunnen in radialen staan: π radialen = 180°. Op de cirkel geldt altijd: sin²θ + cos²θ = 1, omdat het punt op een cirkel met straal 1 ligt.
Calculus: afgeleide (helling) en integraal (oppervlakte)
De afgeleide vertelt hoe snel iets verandert. In een grafiek is het de helling van de raaklijn, de lijn die de kromme in één punt net raakt. Neem twee punten dicht bij elkaar en schuif ze steeds dichter naar elkaar toe: de helling van de lijn erdoorheen wordt de helling van de raaklijn.
Een regel om mee te beginnen (machtsregel): als y = xⁿ dan dy/dx = n xⁿ⁻¹. Voor y = x² is de helling dus 2x en voor y = x²/4 is die x/2.
De integraal telt veel dunne plakjes op om een oppervlakte onder een kromme te vinden. Met staafjes: oppervlakte ≈ som van (hoogte × breedte). Meer en dunnere staafjes geven een beter antwoord. Voor y = xⁿ geldt ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1). De oppervlakte onder y = x²/4 van 0 tot 4 is 4³/12 = 5.33.
Afgeleide en integraal maken elkaar ongedaan. Dit verband heet de hoofdstelling van de calculus.
Meetkunde: vormen en ruimtefiguren
In de analytische meetkunde beschrijven we vormen met getallen. De afstand tussen (x₁, y₁) en (x₂, y₂) is √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) en een cirkel met middelpunt (0, 0) en straal r is x² + y² = r².
Neem bij ruimtefiguren een cilinder met straal r en hoogte h = 2r. Een kegel van dezelfde afmetingen bevat dan een derde daarvan en een bol die er precies in past bevat twee derde:
V(cilinder) = πr²h, V(kegel) = πr²h/3, V(bol) = 4πr³/3.
Archimedes vond deze verhouding 1 : 2 : 3 meer dan 2000 jaar geleden. In de 3D kun je de kegel en de bol in de cilinder gieten: samen vullen ze hem precies.
Kansrekening en statistiek
Kans = gunstige uitkomsten ÷ alle even waarschijnlijke uitkomsten. Bij twee dobbelstenen zijn er 6 × 6 = 36 uitkomsten. Een som van 7 kan op 6 manieren (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), dus P(7) = 6/36 = 1/6, meer dan P(2) = 1/36. Daarom is de middelste staaf het hoogst.
Statistiek beschrijft gegevens. Het gemiddelde is het gewone gemiddelde. De standaardafwijking zegt hoe ver waarden meestal van het gemiddelde af liggen. Als veel kleine kansen bij elkaar komen (zoals bij twee of meer dobbelstenen), vormt het staafdiagram van de uitkomsten een gladde klokvorm, de normale verdeling. Ongeveer 68% van de waarden ligt binnen één standaardafwijking van het gemiddelde.
Probeer het zelf en wat je hierna leert
Probeer het: gooi in de 3D 100 keer met de dobbelstenen en voorspel welke staaf het hoogst wordt voordat je kijkt. Gooi dan nog eens 100 keer. Hoe vaker je gooit, hoe beter de blauwe staven bij de oranje omlijning passen.
Ga hierna dieper in op: Eenheidscirkel, Afgeleiden, Integreren, Ruimtemeetkunde en Normale verdeling.
Belangrijke formules en begrippen
- sin²θ + cos²θ = 1; π rad = 180°
- d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹
- ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C
- V(cilinder) = πr²h; V(kegel) = ⅓ πr²h; V(bol) = 4⁄3 πr³
- P(gebeurtenis) = gunstig ÷ totaal; gemiddelde = som ÷ aantal
Uitgewerkte voorbeelden
1. Als θ scherp is en cos θ = 0.6, bereken sin θ.
sin²θ + cos²θ = 1, dus sin²θ = 1 − 0.36 = 0.64. sin θ = 0.8 (positief, want θ is scherp).
2. Bereken de helling van y = 3x² + 5x bij x = 2.
dy/dx = 6x + 5. Bij x = 2: 6 × 2 + 5 = 17.
3. Bereken de oppervlakte onder y = x² van x = 0 tot x = 3.
Oppervlakte = ∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³ = 27/3 − 0 = 9.
4. Bereken de inhoud van een bol met straal 3 cm.
V = 4⁄3 π r³ = 4⁄3 × π × 27 = 36π ≈ 113.1 cm³.
5. Er wordt met twee eerlijke dobbelstenen gegooid. Bereken de kans dat de som 8 is.
Manieren voor 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) = 5 manieren van 36. P = 5/36 ≈ 0.139.
6. Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking van 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.
Gemiddelde = 40 ÷ 8 = 5. Kwadraten van de verschillen: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 = 32. Variantie = 32 ÷ 8 = 4. Standaardafwijking = √4 = 2.
Veelgemaakte fouten
- Graden en radialen door elkaar halen op de rekenmachine. Controleer eerst de stand.
- Vergeten de macht met één te verlagen bij het differentiëren: de afgeleide van x³ is 3x², niet 3x³.
- De + C vergeten bij een onbepaalde integraal.
- De uitkomsten van dobbelstenen tellen als 11 gelijke (sommen 2 tot 12). De sommen zijn niet even waarschijnlijk: er zijn 36 gelijke uitkomsten.