条件付き確率とは?
予想をする前に、追加の情報をもらうことがあります。その情報が、すでに起こった事象Bです。すると、Bの外の結果はもう起こりえません。Bが新しい標本空間(起こりうる結果すべての集まり)になります。
Bが起きたとき、Aが起こる確率を P(A|B) と書きます。縦棒「|」は「~のとき」と読みます。
P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)(ただし P(B) ≠ 0)。
どの結果も同じ確率なら、数えるだけで求められます。P(A|B) = n(A ∩ B) ÷ n(B)。
条件付き確率の性質
- ふつうの確率と同じく 0 ≤ P(A|B) ≤ 1。
- P(S|B) = P(B|B) = 1:新しい世界の中では、Bは必ず起こります。
- P(A′|B) = 1 − P(A|B)(A′ は「Aではない」)。
- どんなAとCでも:P(A ∪ C | B) = P(A|B) + P(C|B) − P(A ∩ C | B)。
- P(A|B) と P(B|A) はふつう違う値です。分数の分母が変わるからです。
確率の乗法定理
定義の両辺に P(B) をかけます。すると乗法定理が出てきます。
P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B) = P(A) · P(B|A)
ことが順番に起こるときに使います。たとえば、1枚目のカードを戻さずに2枚引く場合です。1回目の確率 × 1回目を知ったうえでの2回目の確率、と計算します。
3つの事象なら:P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B|A) · P(C|A ∩ B)。
独立事象
一方を知っても他方について何もわからないとき、AとBは独立です。P(A|B) = P(A)(そして P(B|A) = P(B))。
これを乗法定理に入れると、判定の式になります。P(A ∩ B) = P(A) · P(B)。
- 別々の2枚のコイン、別々の2個のサイコロ、戻す抽出 → 独立。
- 戻さない抽出 → ふつうは従属(独立ではない)。
- AとBが独立なら、AとB′、A′とB、A′とB′ も独立です。
- 3つの事象が独立なのは、どの2つの組もうまくいき、かつ P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C) のときだけです。
独立と排反はちがう
排反とは、AとBが同時には起こらないこと:P(A ∩ B) = 0。独立とは、おたがいに影響しないことです。どちらの確率も0でないなら、この2つは同時には成り立ちません。Aが起きたとき、排反なBは起こりえなくなります。つまりニュースでBの確率が変わったのです。
おうちで試そう
1から10までの10枚のカードを用意します。引いたカードが6より大きい確率を予想しましょう(4/10です)。次に友だちがこっそり見て「偶数だよ」と言います。奇数のカードをのぞくと、2、4、6、8、10 の5枚が残り、6より大きいのは8と10。2/5 です。同じ 0.4 になりました!だからここでは「6より大きい」と「偶数」は独立です。「5より大きい」でやってみると、確率が変わるのがわかります。
重要な公式と用語
- P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B) ≠ 0
- P(A|B) = n(A ∩ B) / n(B) (equally likely outcomes)
- P(A′|B) = 1 − P(A|B)
- P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)
- P(A ∩ B ∩ C) = P(A)·P(B|A)·P(C|A ∩ B)
- Independent: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
例題
1. P(A) = 0.6、P(B) = 0.5、P(A ∩ B) = 0.2 のとき、P(A|B) と P(B|A) を求めなさい。
ステップ1:P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.2/0.5 = 0.4。 ステップ2:P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A) = 0.2/0.6 = 1/3。 注意:2つの答えは違う値になります。
2. 公平なサイコロを2個投げます。1個目が偶数だったとき、目の和が8になる確率を求めなさい。
ステップ1:B = 1個目が偶数 → 3 × 6 = 18通り。 ステップ2:A ∩ B = (2,6)、(4,4)、(6,2) → 3通り。 ステップ3:P(A|B) = 3/18 = 1/6。
3. 子どもが2人いる家庭があります。少なくとも1人が女の子だとわかっているとき、2人とも女の子である確率は?
ステップ1:すべての場合は GG、GB、BG、BB(同様に確からしい)。 ステップ2:B = 少なくとも1人は女の子 → GG、GB、BG(3通り)。 ステップ3:A ∩ B = GG(1通り)。 ステップ4:P = 1/3(1/2ではありません!)。
4. 箱に赤ペン5本と青ペン3本が入っています。ペンを戻さずに続けて2本取り出します。2本とも赤である確率を求めなさい。
ステップ1:P(1本目が赤) = 5/8。 ステップ2:残りは赤4本、全部で7本:P(2本目が赤 | 1本目が赤) = 4/7。 ステップ3:乗法定理:5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14。
5. 52枚のトランプから、戻さずに1枚ずつ3枚引きます。3枚ともキングである確率を求めなさい。
ステップ1:P(K1) = 4/52。 ステップ2:P(K2 | K1) = 3/51。 ステップ3:P(K3 | K1 ∩ K2) = 2/50。 ステップ4:かけ算:4/52 × 3/51 × 2/50 = 24/132600 = 1/5525。
6. サイコロを1個投げます。E =「3の倍数」、F =「偶数」とします。EとFは独立ですか?
ステップ1:E = {3, 6}、P(E) = 1/3。F = {2, 4, 6}、P(F) = 1/2。 ステップ2:E ∩ F = {6}、P(E ∩ F) = 1/6。 ステップ3:P(E)·P(F) = 1/3 × 1/2 = 1/6 = P(E ∩ F)。 よって、独立です。
7. Aさんが問題を解ける確率は1/2、Bさんは1/3です。2人は別々に(独立に)取り組みます。問題が解ける確率を求めなさい。
ステップ1:P(Aが解けない) = 1/2、P(Bが解けない) = 2/3。 ステップ2:2人とも解けない確率(独立):1/2 × 2/3 = 1/3。 ステップ3:解ける確率 = 1 − 1/3 = 2/3。
8. P(A) = 0.3、P(B) = 0.4 で、AとBは独立です。P(A ∪ B) と P(A′ ∩ B′) を求めなさい。
ステップ1:P(A ∩ B) = 0.3 × 0.4 = 0.12。 ステップ2:P(A ∪ B) = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58。 ステップ3:P(A′ ∩ B′) = 1 − P(A ∪ B) = 0.42(確かめ:0.7 × 0.6 = 0.42 ✓)。
よくある間違い
- P(A|B) と P(B|A) を取りちがえる。縦棒のあとの事象が「すでにわかっている事象」で、分母に入ります。
- Bだと教えてもらったのに、全体の標本空間で割ってしまう。Bが起きたら、Bの中だけで数えます。
- 「独立」を「同時に起こらない」と思い込む。それは排反で、別の考え方です。
- 戻さない抽出で P(A)·P(B) を使う。2回目は1回目に左右されるので、P(A)·P(B|A) を使います。