Wat is voorwaardelijke kans?
Soms krijgen we extra informatie voordat we gokken. Die informatie is een gebeurtenis B die al is gebeurd. Dan is elke uitkomst buiten B nu onmogelijk. B wordt de nieuwe uitkomstenruimte (de lijst van alle mogelijke uitkomsten).
De kans op A gegeven B schrijf je als P(A|B). Lees het streepje "|" als "gegeven".
P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B), waarbij P(B) ≠ 0.
Bij even waarschijnlijke uitkomsten kun je gewoon tellen: P(A|B) = n(A ∩ B) ÷ n(B).
Eigenschappen van voorwaardelijke kans
- 0 ≤ P(A|B) ≤ 1, zoals bij elke kans.
- P(S|B) = P(B|B) = 1: in de nieuwe wereld is B zeker.
- P(A′|B) = 1 − P(A|B) (A′ betekent "niet A").
- Voor alle A en C: P(A ∪ C | B) = P(A|B) + P(C|B) − P(A ∩ C | B).
- P(A|B) en P(B|A) zijn meestal verschillend. De noemer van de breuk verandert.
De productregel van kansrekening
Vermenigvuldig beide kanten van de definitie met P(B). Dan krijg je de productregel:
P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B) = P(A) · P(B|A)
Gebruik hem als dingen na elkaar gebeuren, zoals twee kaarten trekken zonder de eerste terug te leggen. Kans op de eerste × kans op de tweede, gegeven de eerste.
Voor drie gebeurtenissen: P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B|A) · P(C|A ∩ B).
Onafhankelijke gebeurtenissen
A en B zijn onafhankelijk als het weten van de één niets zegt over de ander: P(A|B) = P(A) (en P(B|A) = P(B)).
Vul dit in de productregel in en je krijgt de toets: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
- Twee verschillende munten, twee verschillende dobbelstenen, trekken met terugleggen → onafhankelijk.
- Trekken zonder terugleggen → meestal afhankelijk.
- Als A en B onafhankelijk zijn, zijn ook A en B′, A′ en B, A′ en B′ onafhankelijk.
- Drie gebeurtenissen zijn alleen onafhankelijk als elk paar klopt en P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C).
Onafhankelijk is niet hetzelfde als elkaar uitsluitend
Elkaar uitsluitend betekent dat A en B niet samen kunnen gebeuren: P(A ∩ B) = 0. Onafhankelijk betekent dat ze elkaar niet beïnvloeden. Als beide een kans groter dan nul hebben, kunnen ze niet allebei waar zijn: als A gebeurt, wordt een uitsluitende B onmogelijk, dus het nieuws heeft B duidelijk veranderd.
Probeer het thuis
Neem tien kaarten: 1 tot en met 10. Raad de kans dat een kaart groter is dan 6 (dat is 4/10). Nu kijkt een vriend stiekem en zegt: "het is een even getal". Haal de oneven kaarten weg. Er blijven alleen 2, 4, 6, 8, 10 over, en 8 en 10 zijn groter dan 6: 2/5. Hetzelfde getal 0.4! Dus "groter dan 6" en "even" zijn hier onafhankelijk. Probeer "groter dan 5" en zie dat de kans verandert.
Belangrijke formules en begrippen
- P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B) ≠ 0
- P(A|B) = n(A ∩ B) / n(B) (even waarschijnlijke uitkomsten)
- P(A′|B) = 1 − P(A|B)
- P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)
- P(A ∩ B ∩ C) = P(A)·P(B|A)·P(C|A ∩ B)
- Onafhankelijk: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Uitgewerkte voorbeelden
1. P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 en P(A ∩ B) = 0.2. Bereken P(A|B) en P(B|A).
Stap 1: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.2/0.5 = 0.4. Stap 2: P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A) = 0.2/0.6 = 1/3. Let op: de twee antwoorden zijn verschillend.
2. Er wordt met twee eerlijke dobbelstenen gegooid. Bereken de kans dat de som 8 is, gegeven dat de eerste dobbelsteen een even getal toont.
Stap 1: B = eerste dobbelsteen even → 3 × 6 = 18 uitkomsten. Stap 2: A ∩ B = (2,6), (4,4), (6,2) → 3 uitkomsten. Stap 3: P(A|B) = 3/18 = 1/6.
3. Een gezin heeft twee kinderen. Gegeven dat minstens één een meisje is, wat is de kans dat beide meisjes zijn?
Stap 1: Alle gevallen: MM, MJ, JM, JJ (even waarschijnlijk; M = meisje, J = jongen). Stap 2: B = minstens één meisje → MM, MJ, JM (3 gevallen). Stap 3: A ∩ B = MM (1 geval). Stap 4: P = 1/3 (niet 1/2!).
4. In een doos zitten 5 rode en 3 blauwe pennen. Er worden twee pennen na elkaar gepakt zonder terugleggen. Bereken de kans dat beide rood zijn.
Stap 1: P(eerste rood) = 5/8. Stap 2: Nu nog 4 rode van de 7: P(tweede rood | eerste rood) = 4/7. Stap 3: Productregel: 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14.
5. Uit een stok van 52 kaarten worden drie kaarten na elkaar getrokken zonder terugleggen. Bereken de kans dat alle drie heren zijn.
Stap 1: P(H1) = 4/52. Stap 2: P(H2 | H1) = 3/51. Stap 3: P(H3 | H1 ∩ H2) = 2/50. Stap 4: Vermenigvuldig: 4/52 × 3/51 × 2/50 = 24/132600 = 1/5525.
6. Er wordt met een dobbelsteen gegooid. E = "een drievoud", F = "even". Zijn E en F onafhankelijk?
Stap 1: E = {3, 6}, P(E) = 1/3. F = {2, 4, 6}, P(F) = 1/2. Stap 2: E ∩ F = {6}, P(E ∩ F) = 1/6. Stap 3: P(E)·P(F) = 1/3 × 1/2 = 1/6 = P(E ∩ F). Dus ja, ze zijn onafhankelijk.
7. A lost een opgave op met kans 1/2 en B met kans 1/3, ieder alleen werkend (onafhankelijk). Bereken de kans dat de opgave wordt opgelost.
Stap 1: P(A faalt) = 1/2, P(B faalt) = 2/3. Stap 2: Beiden falen (onafhankelijk): 1/2 × 2/3 = 1/3. Stap 3: Opgelost = 1 − 1/3 = 2/3.
8. P(A) = 0.3, P(B) = 0.4 en A en B zijn onafhankelijk. Bereken P(A ∪ B) en P(A′ ∩ B′).
Stap 1: P(A ∩ B) = 0.3 × 0.4 = 0.12. Stap 2: P(A ∪ B) = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58. Stap 3: P(A′ ∩ B′) = 1 − P(A ∪ B) = 0.42 (controle: 0.7 × 0.6 = 0.42 ✓).
Veelgemaakte fouten
- P(A|B) en P(B|A) door elkaar halen. De gebeurtenis achter het streepje is degene die je al weet; die komt in de noemer.
- Delen door de hele uitkomstenruimte nadat je B hebt gehoord. Gegeven B tel je alleen binnen B.
- Denken dat "onafhankelijk" betekent "kan niet samen gebeuren". Dat is elkaar uitsluitend, een ander begrip.
- P(A)·P(B) gebruiken bij trekken zonder terugleggen. De tweede trekking hangt af van de eerste; gebruik P(A)·P(B|A).