混合物的平均价格
平均价格就是 1 个单位混合物的成本。它是一种加权平均数：
m = (q₁ × c + q₂ × d) ÷ (q₁ + q₂)
其中 q₁ 个单位每个价格 c，q₂ 个单位每个价格 d。平均价格总是在 c 和 d 之间，并且更接近数量多的那种的价格。
例子：3 千克 ₹40 加 1 千克 ₹60 → m = (120 + 60) ÷ 4 = ₹45。
十字交叉法
十字交叉法（alligation）是一种快速方法，用来求两种原料按什么比例混合，才能得到指定的平均价格。
便宜的数量 : 贵的数量 = (d − m) : (m − c)
写成十字形：
c (便宜) d (贵)
\ /
m
/ \
(d − m) (m − c)为什么有效：平衡时，贵的部分“多收”的钱等于便宜的部分“少收”的钱：q₁(m − c) = q₂(d − m)。两边整理，就得到 q₁ : q₂ = (d − m) : (m − c)。这就是跷跷板（力矩）原理。
凡是按重量求平均的问题都能用：每千克的价格、浓度百分数、速度、温度、分数。
液体混合与浓度问题
把水看作“价格为 0 的液体”或“浓度为 0% 的溶液”。例子：牛奶每升 ₹60。要使混合物每升 ₹48，要加多少水？水 (0) 和牛奶 (60)，平均价 48：水 : 牛奶 = (60 − 48) : (48 − 0) = 12 : 48 = 1 : 4。
如果要获利：商人想按牛奶的进价出售混合物并赚 25%，那么混合物的成本价是 60 ÷ 1.25 = ₹48，算法完全一样。
反复替换（倒出再加满）
容器里有 V 升纯液体。每次倒出 x 升，再用水补满。这样做 n 次之后：
剩下的纯液体 = V × (1 − x/V)ⁿ
每一步都保留原来的 (1 − x/V) 那部分，所以数量的减少就像复利反过来。例子：V = 40，x = 4，n = 2 → 40 × 0.9² = 32.4 升。
动手试试：预测温度
把 3 杯 60 °C 的热水和 1 杯 20 °C 的冷水混合。十字交叉法：热 : 冷 = (m − 20) : (60 − m) = 3 : 1，所以 m = 50 °C。测一测，对比一下。杯子会带走一点热量，所以你测到的读数可能稍低一点。
重点公式和概念
- 平均价格 m = (q₁c + q₂d) ÷ (q₁ + q₂)
- 十字交叉法：便宜 : 贵 = (d − m) : (m − c)
- 平衡关系：q₁(m − c) = q₂(d − m)
- 稀释问题中，水的价格为 0（或浓度为 0%）
- 反复替换：剩下的液体 = V(1 − x/V)ⁿ
- 有利润时：混合物成本价 = 售价 ÷ (1 + 利润率)
例题讲解
1. 把每千克 ₹40 和每千克 ₹60 的大米混合，得到每千克 ₹45 的米。求混合比例。
便宜 : 贵 = (60 − 45) : (45 − 40) = 15 : 5 = 3 : 1。
2. 5 千克每千克 ₹42 的糖和 3 千克每千克 ₹50 的糖混合，求平均价格。
m = (5 × 42 + 3 × 50) ÷ 8 = (210 + 150) ÷ 8 = 360 ÷ 8 = 每千克 ₹45。
3. 水与每升 ₹60 的牛奶按什么比例混合，才能得到每升 ₹50 的混合物？
水 (0) 和牛奶 (60)，平均价 50。水 : 牛奶 = (60 − 50) : (50 − 0) = 10 : 50 = 1 : 5。
4. 把 30% 的酸溶液和 70% 的酸溶液混合，配成 40 升 45% 的溶液。两种溶液各需多少升？
30% : 70% = (70 − 45) : (45 − 30) = 25 : 15 = 5 : 3。30% 的溶液 = 40 × 5/8 = 25 升；70% 的溶液 = 15 升。
5. 要把每千克 ₹300 的茶叶与 12 千克每千克 ₹420 的茶叶混合，使混合茶每千克 ₹350，需要多少千克 ₹300 的茶叶？
便宜 : 贵 = (420 − 350) : (350 − 300) = 70 : 50 = 7 : 5。便宜茶 = 12 × 7/5 = 16.8 千克。
6. 一个牛奶商以每升 ₹50 买进牛奶，加水后按每升 ₹50 卖出混合物，赚了 25%。求水与牛奶的比。
混合物成本价 = 50 ÷ 1.25 = 每升 ₹40。水 : 牛奶 = (50 − 40) : (40 − 0) = 10 : 40 = 1 : 4。
7. 一个 40 升的桶装满牛奶：倒出 4 升，用水补满。这样做两次。还剩多少牛奶？
牛奶 = 40 × (1 − 4/40)² = 40 × 0.81 = 32.4 升。水 = 7.6 升。
8. 一个 20 升的容器装满纯果汁：倒出 5 升，用水补满，共做三次。最后果汁与水的比是多少？
果汁 = 20 × (1 − 5/20)³ = 20 × 0.421875 = 8.4375 升。水 = 11.5625 升。比 = 8.4375 : 11.5625 = 27 : 37。
常见错误
- 比例写反了：便宜的数量对应 (贵价 − 平均价)，而不是 (平均价 − 便宜价)。
- 在有利润的题目里，把售价当成平均价；应先换算成成本价。
- 反复替换时只减了一次；(1 − x/V) 必须取 n 次方。
- 数量不同时直接取价格的简单平均；应该用加权平均。