Prezzo medio di un miscuglio
Il prezzo medio è il costo di una unità di miscuglio. È una media ponderata:
m = (q₁ × c + q₂ × d) ÷ (q₁ + q₂)
dove q₁ unità costano c ciascuna e q₂ unità costano d ciascuna. Il prezzo medio sta sempre tra c e d, ed è più vicino al prezzo della quantità maggiore.
Esempio: 3 kg a ₹40 e 1 kg a ₹60 → m = (120 + 60) ÷ 4 = ₹45.
La regola dell'alligazione
L'alligazione è una regola veloce per trovare in quale rapporto mescolare due ingredienti per ottenere un miscuglio con un dato prezzo medio.
Quantità del più economico : quantità del più caro = (d − m) : (m − c)
Si scrive a croce:
c (economico) d (caro)
\ /
m
/ \
(d − m) (m − c)Perché funziona: all'equilibrio, i soldi 'persi' sulla parte cara sono uguali ai soldi 'guadagnati' sulla parte economica: q₁(m − c) = q₂(d − m). Dividendo i due membri si ottiene q₁ : q₂ = (d − m) : (m − c). È la regola dell'altalena (dei momenti).
La regola vale per tutto ciò che si media in base al peso: prezzo al kg, concentrazione in %, velocità, temperatura, voti.
Miscugli di liquidi e concentrazioni
Considera l'acqua come un 'liquido di prezzo 0' o una 'soluzione con concentrazione 0%'. Esempio: il latte costa ₹60/L. Quanta acqua si deve aggiungere perché il miscuglio costi ₹48/L? Acqua (0) e latte (60), media 48: acqua : latte = (60 − 48) : (48 − 0) = 12 : 48 = 1 : 4.
Per vendere con un guadagno: se un venditore vuole il 25% di guadagno vendendo il miscuglio al prezzo di costo del latte, il prezzo di costo del miscuglio è 60 ÷ 1.25 = ₹48, ed è lo stesso calcolo.
Travasi ripetuti (si toglie e si rimpiazza)
Un recipiente contiene V litri di liquido puro. Ogni volta si tolgono x litri e si rimpiazzano con acqua. Dopo n operazioni:
Liquido puro rimasto = V × (1 − x/V)ⁿ
Ad ogni passaggio resta la frazione (1 − x/V) di ciò che c'era, quindi la quantità diminuisce come un interesse composto al contrario. Esempio: V = 40, x = 4, n = 2 → 40 × 0.9² = 32.4 L.
Prova tu: prevedi una temperatura
Mescola 3 tazze di acqua calda a 60 °C con 1 tazza di acqua fredda a 20 °C. Alligazione: caldo : freddo = (m − 20) : (60 − m) = 3 : 1, quindi m = 50 °C. Misura e confronta. Un po' di calore si disperde nella tazza, quindi la tua misura può essere leggermente più bassa.
Formule e definizioni chiave
- Prezzo medio m = (q₁c + q₂d) ÷ (q₁ + q₂)
- Regola dell'alligazione: economico : caro = (d − m) : (m − c)
- Equilibrio: q₁(m − c) = q₂(d − m)
- L'acqua ha prezzo 0 (o concentrazione 0%) nei problemi di diluizione
- Travasi ripetuti: liquido rimasto = V(1 − x/V)ⁿ
- Caso del guadagno: prezzo di costo del miscuglio = prezzo di vendita ÷ (1 + guadagno%)
Esempi svolti
1. Riso a ₹40/kg e a ₹60/kg viene mescolato per ottenere ₹45/kg. Trova il rapporto.
Economico : caro = (60 − 45) : (45 − 40) = 15 : 5 = 3 : 1.
2. Trova il prezzo medio se 5 kg di zucchero a ₹42/kg sono mescolati con 3 kg a ₹50/kg.
m = (5 × 42 + 3 × 50) ÷ 8 = (210 + 150) ÷ 8 = 360 ÷ 8 = ₹45/kg.
3. In quale rapporto si deve mescolare acqua con latte da ₹60/L per ottenere un miscuglio da ₹50/L?
Acqua (0) e latte (60), media 50. Acqua : latte = (60 − 50) : (50 − 0) = 10 : 50 = 1 : 5.
4. Una soluzione di acido al 30% e una al 70% sono mescolate per fare 40 L di soluzione al 45%. Quanti litri di ciascuna servono?
Rapporto 30% : 70% = (70 − 45) : (45 − 30) = 25 : 15 = 5 : 3. Soluzione al 30% = 40 × 5/8 = 25 L; soluzione al 70% = 15 L.
5. Quanti kg di tè a ₹300/kg bisogna mescolare con 12 kg di tè a ₹420/kg perché il miscuglio valga ₹350/kg?
Economico : caro = (420 − 350) : (350 − 300) = 70 : 50 = 7 : 5. Economico = 12 × 7/5 = 16.8 kg.
6. Un lattaio compra il latte a ₹50/L, aggiunge acqua e vende il miscuglio a ₹50/L, guadagnando il 25%. Trova il rapporto tra acqua e latte.
Prezzo di costo del miscuglio = 50 ÷ 1.25 = ₹40/L. Acqua : latte = (50 − 40) : (40 − 0) = 10 : 40 = 1 : 4.
7. Un bidone da 40 L di latte: se ne tolgono 4 L e si rimpiazzano con acqua. Si fa due volte. Quanto latte resta?
Latte = 40 × (1 − 4/40)² = 40 × 0.81 = 32.4 L. Acqua = 7.6 L.
8. Un recipiente da 20 L di succo puro: se ne tolgono 5 L e si rimpiazzano con acqua per tre volte. Trova il rapporto tra succo e acqua alla fine.
Succo = 20 × (1 − 5/20)³ = 20 × 0.421875 = 8.4375 L. Acqua = 11.5625 L. Rapporto = 8.4375 : 11.5625 = 27 : 37.
Errori comuni
- Scrivere il rapporto al contrario: la quantità ECONOMICA va con (caro − medio), non con (medio − economico).
- Usare il prezzo di vendita come prezzo medio in un problema di guadagno; prima va convertito in prezzo di costo.
- Sottrarre una sola volta nei travasi ripetuti; il fattore (1 − x/V) va elevato alla potenza n.
- Fare la media semplice dei prezzi quando le quantità sono diverse; serve la media ponderata.