O que é a regra da alligação?

Um atalho que dá a proporção em que dois itens devem ser misturados para obter um preço médio dado: mais barato : mais caro = (preço do mais caro − média) : (média − preço do mais barato).

O que é o preço médio de uma mistura?

É o custo de uma unidade da mistura, calculado como média ponderada: custo total ÷ quantidade total.

Qual é a fórmula da substituição repetida?

Líquido que sobra = V(1 − x/V)ⁿ, onde V é o volume, x a quantidade retirada a cada vez e n o número de vezes.

Alligação e Mistura: Regra, Preço Médio e Exercícios

Quando misturamos dois ingredientes com preços (ou concentrações) c e d, o preço médio m da mistura fica entre os dois. A regra da alligação diz que as quantidades estão na proporção (d − m) : (m − c), do mais barato para o mais caro. É um atalho para a média ponderada m = (q₁c + q₂d) ÷ (q₁ + q₂). Na substituição repetida, se retiramos x unidades de um recipiente de V unidades e completamos com água n vezes, sobra do líquido original V(1 − x/V)ⁿ.

Preço médio de uma mistura

O preço médio é o custo de uma unidade da mistura. Ele é uma média ponderada:

m = (q₁ × c + q₂ × d) ÷ (q₁ + q₂)

onde q₁ unidades custam c cada e q₂ unidades custam d cada. O preço médio sempre fica entre c e d, e fica mais perto do preço da quantidade maior.

Exemplo: 3 kg a ₹40 e 1 kg a ₹60 → m = (120 + 60) ÷ 4 = ₹45.

A regra da alligação

A alligação é uma regra rápida para achar a proporção em que dois ingredientes devem ser misturados para obter um preço médio dado.

Quantidade do mais barato : quantidade do mais caro = (d − m) : (m − c)

Monte um cruzamento:

   c (barato)      d (caro)
           \     /
             m
           /     \
   (d − m)         (m − c)

Por que funciona: no equilíbrio, o dinheiro 'perdido' na parte cara é igual ao dinheiro 'ganho' na parte barata: q₁(m − c) = q₂(d − m). Dividindo os dois lados, q₁ : q₂ = (d − m) : (m − c). É a regra da gangorra (momento).

A regra vale para qualquer coisa que se calcula com média ponderada: preço por kg, concentração em %, velocidade, temperatura, notas.

Misturas de líquidos e concentrações

Trate a água como um 'líquido de preço 0' ou uma 'solução de 0% de concentração'. Exemplo: o leite custa ₹60/L. Quanta água deve ser misturada para a mistura custar ₹48/L? Água (0) e leite (60), média 48: água : leite = (60 − 48) : (48 − 0) = 12 : 48 = 1 : 4.

Para vender com lucro: se um vendedor quer 25% de lucro vendendo a mistura pelo preço de custo do leite, o custo da mistura é 60 ÷ 1.25 = ₹48, que é exatamente a mesma conta.

Substituição repetida (tirar e completar)

Um recipiente tem V litros de líquido puro. Cada vez, x litros são retirados e trocados por água. Depois de n operações:

Líquido puro que sobra = V × (1 − x/V)ⁿ

A cada passo fica a fração (1 − x/V) do que havia, então a quantidade diminui como juros compostos ao contrário. Exemplo: V = 40, x = 4, n = 2 → 40 × 0.9² = 32.4 L.

Experimente: preveja uma temperatura

Misture 3 copos de água quente a 60 °C com 1 copo de água fria a 20 °C. Alligação: quente : frio = (m − 20) : (60 − m) = 3 : 1, então m = 50 °C. Meça e compare. Um pouco de calor se perde para o copo, então sua medida pode ser um pouco menor.

Fórmulas e definições principais

Preço médio m = (q₁c + q₂d) ÷ (q₁ + q₂)
Regra da alligação: mais barato : mais caro = (d − m) : (m − c)
Equilíbrio: q₁(m − c) = q₂(d − m)
A água tem preço 0 (ou 0% de concentração) nos problemas de diluição
Substituição repetida: líquido que sobra = V(1 − x/V)ⁿ
Caso do lucro: preço de custo da mistura = preço de venda ÷ (1 + lucro%)

Exemplos resolvidos

1. Arroz a ₹40/kg e a ₹60/kg é misturado para dar ₹45/kg. Qual é a proporção?

Barato : caro = (60 − 45) : (45 − 40) = 15 : 5 = 3 : 1.

2. Ache o preço médio quando 5 kg de açúcar a ₹42/kg são misturados com 3 kg a ₹50/kg.

m = (5 × 42 + 3 × 50) ÷ 8 = (210 + 150) ÷ 8 = 360 ÷ 8 = ₹45/kg.

3. Em que proporção a água deve ser misturada com leite de ₹60/L para obter uma mistura de ₹50/L?

Água (0) e leite (60), média 50. Água : leite = (60 − 50) : (50 − 0) = 10 : 50 = 1 : 5.

4. Uma solução de ácido a 30% e outra a 70% são misturadas para fazer 40 L de solução a 45%. Quantos litros de cada?

Proporção 30% : 70% = (70 − 45) : (45 − 30) = 25 : 15 = 5 : 3. Solução a 30% = 40 × 5/8 = 25 L; solução a 70% = 15 L.

5. Quantos kg de chá a ₹300/kg devem ser misturados com 12 kg de chá a ₹420/kg para que a mistura valha ₹350/kg?

Barato : caro = (420 − 350) : (350 − 300) = 70 : 50 = 7 : 5. Barato = 12 × 7/5 = 16.8 kg.

6. Um leiteiro compra leite a ₹50/L, acrescenta água e vende a mistura a ₹50/L, ganhando 25%. Ache a proporção entre água e leite.

Custo da mistura = 50 ÷ 1.25 = ₹40/L. Água : leite = (50 − 40) : (40 − 0) = 10 : 40 = 1 : 4.

7. Um galão de 40 L de leite: 4 L são retirados e trocados por água. Isso é feito duas vezes. Quanto leite sobra?

Leite = 40 × (1 − 4/40)² = 40 × 0.81 = 32.4 L. Água = 7.6 L.

8. Um recipiente de 20 L com suco puro: 5 L são retirados e trocados por água, três vezes. Ache a proporção entre suco e água no final.

Suco = 20 × (1 − 5/20)³ = 20 × 0.421875 = 8.4375 L. Água = 11.5625 L. Proporção = 8.4375 : 11.5625 = 27 : 37.

Erros comuns

Escrever a proporção ao contrário: a quantidade do BARATO vai com (caro − médio), não com (médio − barato).
Usar o preço de venda como preço médio numa questão de lucro; primeiro converta para preço de custo.
Subtrair só uma vez na substituição repetida; o fator (1 − x/V) deve ser elevado à potência n.
Tirar a média simples dos preços quando as quantidades são diferentes; use a média ponderada.

Quiz de prática

Prática: responda você mesmo

Digite ou escolha sua resposta e aperte Conferir. Use a dica se travar; a solução completa aparece depois que você responder.

Alligação e Mistura

🎬 História passo a passo

🤔 Dúvidas comuns, esclarecidas

Por que não posso simplesmente tirar a média dos dois preços?

Por que a quantidade do barato fica com a diferença do caro?

Onde fica o preço médio de uma mistura?

Por que a fórmula da substituição é uma potência e não uma subtração?

A média pode ser igual a um dos preços?