年金：等额付款、终值与现值

什么是年金？

年金是每隔相同的时间（每月、每年）付出的一组等额款项。

• 普通年金（后付年金）：每笔款项在每期期末。大多数贷款和储蓄计划都是这样。
• 先付年金：每笔款项在每期期初，比如提前交的房租。
• 永续年金：款项永远持续下去。

符号：P = 每期付款，i = 每期利率（用小数），n = 付款次数。如果每月付款、年利率是 r：i = r/12，n = 12 × 年数。

终值：一个等比数列

如果每期期末付款，第一笔生息 n − 1 期，最后一笔生息 0 期。所以

FV = P + P(1+i) + P(1+i)² + … + P(1+i)ⁿ⁻¹

这是首项为 P、公比为 (1+i)、共 n 项的等比数列。用 S_n = a(rⁿ − 1)/(r − 1)：

FV = P · [(1+i)ⁿ − 1] / i

对于先付年金，每笔款项多生息一期：FV_先付 = FV × (1+i)。

偿债基金则是反过来问：要达到目标 FV，每期应付多少 P？P = FV · i / [(1+i)ⁿ − 1]。

年金的现值

今天的钱比以后的同样数目的钱更值钱，因为今天的钱可以生息。要把 k 期以后的一笔款项折回今天，就除以 (1+i)^k。这叫折现。

PV = P/(1+i) + P/(1+i)² + … + P/(1+i)ⁿ，仍然是等比数列（公比 1/(1+i)）：

PV = P · [1 − (1+i)⁻ⁿ] / i

检验：PV × (1+i)ⁿ = FV。对于永续年金，n → ∞，(1+i)⁻ⁿ → 0，所以 PV = P / i。

贷款与分期还款（月供）

你今天借 L，分 n 期等额还款，银行会这样定还款额：所有分期还款的现值恰好等于 L：

P = L · i / [1 − (1+i)⁻ⁿ]

每期还款先付清剩余本金产生的利息，剩下的才用来减少贷款。前期大部分是利息，后期大部分是本金。总还款 = n × P，总利息 = nP − L。

要求需要多少期，就用对数解 (1+i)ⁿ 中的 n：n = log(……) / log(1+i)，结果要向上取整。

重点公式和概念

• FV = P·[(1+i)ⁿ − 1]/i（普通年金）
• PV = P·[1 − (1+i)⁻ⁿ]/i
• 先付年金：FV 或 PV 再乘以 (1+i)
• 贷款分期：P = L·i / [1 − (1+i)⁻ⁿ]
• 偿债基金：P = FV·i / [(1+i)ⁿ − 1]
• 永续年金：PV = P / i
• 按月：i = r/12，n = 12 × 年数

例题讲解

常见错误

• 每月付款却用年利率。要把利率除以 12，年数乘以 12。
• 把 FV 和 PV 搞混：为将来的目标存钱 → FV；今天借的贷款 → PV。
• 先付年金（期初付款）忘了多乘一个 (1+i)。
• 过早对 (1+i)ⁿ 四舍五入，最后答案会明显出错。至少保留 5 位小数。