什么是年金？
年金是指每隔相同的时间支付相同金额的一系列款项。房租、每月储蓄计划和贷款的EMI都是年金。
主要特点
- 每期付款额（PMT）：每次固定支付的金额。
- 付款间隔：两次付款之间的时间（月、季度、年）。
- 期限：从第一次付款到最后一次付款的总时间。
- 利率：年利率，要按期拆分：i = 年利率 ÷ 每年付款次数。
- 付款次数：n = 年数 × 每年付款次数。
在普通年金中，款项在每期的期末支付，而且计息频率和付款频率相同（按月付款，按月计息）。
终值和现值
终值 FV = PMT × ((1 + i)^n − 1) ÷ i：储蓄年金最后会增长到多少。
现值 PV = PMT × (1 − (1 + i)^−n) ÷ i：今天的多少钱，相当于未来所有付款加在一起。贷款就是一个现值。
改变年金的条件
每次只改变一样东西，看看结果（可以在3D里试一试）：
- 利率更高 → 同样的贷款，每期还款更多，总利息更多。对储蓄来说，利率更高，终值就更大。
- 年限更长 → 每期还款变少，但还款次数多得多，所以总利息高得多。
- 还款更频繁（每周还而不是每月还）→ 欠款更早减少，所以利息稍微少一点。
- 每期多还一些 → 贷款提前好几年还清，总利息大幅减少。
- 更早开始储蓄年金 → 复利有更长的时间发挥作用，所以终值增长很多。
电子表格或金融计算器（TVM求解器）可以很快重新算一遍，方便你比较不同的选择。
按揭贷款
按揭贷款是用来买地或买房的贷款。房产是担保：如果借款人不再还钱，贷款方可以收走房产。
- 首付：一开始你自己付的钱。房价 − 首付 = 贷款额（本金）。
- 摊还期：还清贷款所需的全部时间，通常是20到30年。
- 利率期限：在有些国家，利率只在较短的一段时间内固定（比如5年），之后再重新约定。
- 固定利率或浮动利率：固定利率保持不变；浮动利率随市场变化。
- 还款频率：每月、每两周（一年26次）或每周。
- 额外费用：手续费、保险和房产税。
制作摊还表
摊还表把每一期还款一行一行列出来。每一行这样算：
- 利息 = 欠款余额 × i。
- 还掉的本金 = 还款额 − 利息。
- 新的余额 = 旧的余额 − 还掉的本金。
例子：贷款100,000，年利率6%，按月还，i = 0.005，还款额644.30。
| 期数 | 还款额 | 利息 | 本金 | 余额 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 100,000.00 | |||
| 1 | 644.30 | 500.00 | 144.30 | 99,855.70 |
| 2 | 644.30 | 499.28 | 145.02 | 99,710.68 |
| 3 | 644.30 | 498.55 | 145.75 | 99,564.93 |
利息那一列每行都少一点，本金那一列每行都多一点。最后一笔还款可能会差几分钱，这样余额才刚好变成零。
动手试试
在3D里，设置利率6%、25年、每年还款12次，记下总利息。现在只把年数改成15。先预测：总利息会变多还是变少？然后再检查。接下来，保持25年，把还款次数改成每年26次。
在家里：用电子表格和上面的三条规则做一个4行的摊还表，再和本页的表对一对。
重点公式和概念
- i = 年利率 ÷ 每年付款次数, n = 年数 × 每年付款次数
- FV = PMT × [(1 + i)^n − 1] ÷ i
- PV = PMT × [1 − (1 + i)^−n] ÷ i
- PMT = PV × i ÷ [1 − (1 + i)^−n]
- 一期的利息 = 余额 × i; 还掉的本金 = PMT − 利息
- 总利息 = PMT × n − 贷款额
例题讲解
1. 你连续2年，每个月月底存100，年利率6%，按月复利。求终值。
i = 0.06 ÷ 12 = 0.005，n = 24。FV = 100 × (1.005^24 − 1) ÷ 0.005 = 100 × (1.12716 − 1) ÷ 0.005 = 100 × 25.432 = 2,543.20。
2. 年利率4%，连续5年每年年末付500，相当于今天一次性付多少钱？
i = 0.04，n = 5。PV = 500 × (1 − 1.04^−5) ÷ 0.04 = 500 × (1 − 0.82193) ÷ 0.04 = 500 × 4.4518 = 2,225.91。
3. 求一笔100,000的按揭贷款，年利率6%，期限25年，每月还款额是多少。
i = 0.005，n = 300。1.005^−300 = 0.22396。PMT = 100,000 × 0.005 ÷ (1 − 0.22396) = 500 ÷ 0.77604 = 644.30。
4. 对上面这笔按揭，求一共还了多少钱，以及总利息。
总还款 = 644.30 × 300 = 193,290。总利息 = 193,290 − 100,000 = 93,290。几乎和贷款本身一样多！
5. 摊还表的第1行：余额100,000，i = 0.005，还款额644.30。求利息、本金和新的余额。
利息 = 100,000 × 0.005 = 500.00。本金 = 644.30 − 500.00 = 144.30。新的余额 = 100,000 − 144.30 = 99,855.70。
6. 印度的例子：₹30,00,000的房贷，年利率9%，期限20年，按月还EMI。求EMI。
i = 0.09 ÷ 12 = 0.0075，n = 240。1.0075^−240 = 0.16641。EMI = 30,00,000 × 0.0075 ÷ (1 − 0.16641) = 22,500 ÷ 0.83359 ≈ ₹26,992。
7. 同样是100,000、利率6%，但期限改为15年。把总利息和25年的比一比。
n = 180，1.005^−180 = 0.40748。PMT = 500 ÷ 0.59252 = 843.86。总还款 = 843.86 × 180 = 151,895；利息约为51,895。比25年少付大约41,400，而每月只多付大约200。
常见错误
- 把年利率直接当成i。按月还款、年利率6%时，i = 0.005，不是0.06。
- 把年数当成n。25年按月还款，n = 300。
- 以为每次还款都会让贷款减少整笔还款额。只有本金那一部分才会减少余额。
- 以为年限越长越划算，因为每期还款更少。其实总利息高得多。