Che cos'è una rendita?
Una rendita è una serie di pagamenti uguali fatti a intervalli di tempo uguali. L'affitto, un piano di risparmio mensile e la rata di un prestito sono tutte rendite.
Caratteristiche principali
- Rata (PMT): la somma fissa che si paga ogni volta.
- Intervallo di pagamento: il tempo tra due pagamenti (mese, trimestre, anno).
- Durata: il tempo totale dal primo all'ultimo pagamento.
- Tasso di interesse: il tasso annuo, diviso per periodo: i = tasso ÷ pagamenti all'anno.
- Numero di pagamenti: n = anni × pagamenti all'anno.
In una rendita semplice ordinaria (posticipata) i pagamenti si fanno alla fine di ogni periodo, e gli interessi si capitalizzano con la stessa frequenza dei pagamenti (rate mensili, capitalizzazione mensile).
Valore futuro e valore attuale
Valore futuro FV = PMT × ((1 + i)^n − 1) ÷ i: la somma a cui arriva una rendita di risparmio.
Valore attuale PV = PMT × (1 − (1 + i)^−n) ÷ i: la somma di oggi che vale quanto tutti i pagamenti futuri. Un prestito è un valore attuale.
Cambiare le condizioni di una rendita
Cambia una cosa alla volta e guarda il risultato (provalo nel 3D):
- Tasso più alto → rata più grande per lo stesso prestito, più interessi totali. Per il risparmio, un tasso più alto fa crescere il valore futuro.
- Durata più lunga → rata più piccola, ma molte più rate, quindi molti più interessi totali.
- Pagamenti più frequenti (settimanali invece che mensili) → il debito scende prima, quindi gli interessi sono un po' meno.
- Rata regolare più grande → il prestito finisce anni prima e gli interessi totali calano molto.
- Iniziare prima una rendita di risparmio → l'interesse composto ha più tempo per lavorare, quindi il valore futuro cresce molto.
Un foglio di calcolo o una calcolatrice finanziaria (risolutore TVM) rifà il calcolo in fretta, così puoi confrontare le scelte.
Mutui
Un mutuo è un prestito per comprare un terreno o una casa. L'immobile è la garanzia: se chi ha preso il prestito smette di pagare, chi ha prestato i soldi può prendersi l'immobile.
- Anticipo: i soldi che metti tu all'inizio. Prezzo − anticipo = prestito (capitale).
- Periodo di ammortamento: il tempo totale per estinguere il prestito, spesso 20–30 anni.
- Durata del tasso: in alcuni paesi il tasso è fisso solo per un periodo più breve (ad esempio 5 anni), poi si rinnova.
- Tasso fisso o variabile: un tasso fisso resta uguale; un tasso variabile segue il mercato.
- Frequenza dei pagamenti: mensile, ogni due settimane (26 all'anno) o settimanale.
- Costi extra: spese, assicurazione e tasse sulla proprietà.
Costruire un piano di ammortamento
Un piano di ammortamento mostra ogni rata riga per riga. Per ogni riga:
- Interessi = debito × i.
- Capitale restituito = rata − interessi.
- Nuovo debito = vecchio debito − capitale restituito.
Esempio: prestito di 100,000 al 6% annuo, rate mensili, i = 0.005, rata 644.30.
| # | Rata | Interessi | Capitale | Debito residuo |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 100,000.00 | |||
| 1 | 644.30 | 500.00 | 144.30 | 99,855.70 |
| 2 | 644.30 | 499.28 | 145.02 | 99,710.68 |
| 3 | 644.30 | 498.55 | 145.75 | 99,564.93 |
La colonna degli interessi scende un po' a ogni riga e quella del capitale sale. L'ultima rata può differire di qualche centesimo per far arrivare il debito esattamente a zero.
Prova tu
Nel 3D imposta tasso 6%, 25 anni, 12 pagamenti all'anno. Annota gli interessi totali. Ora cambia solo gli anni a 15. Prima prevedi: gli interessi totali saliranno o scenderanno? Poi controlla. Dopo, tieni 25 anni e passa a 26 pagamenti all'anno.
A casa: costruisci in un foglio di calcolo un piano di ammortamento di 4 righe con le tre regole qui sopra e confrontalo con la tabella di questa pagina.
Formule e definizioni chiave
- i = tasso annuo ÷ pagamenti all'anno, n = anni × pagamenti all'anno
- FV = PMT × [(1 + i)^n − 1] ÷ i
- PV = PMT × [1 − (1 + i)^−n] ÷ i
- PMT = PV × i ÷ [1 − (1 + i)^−n]
- Interessi in un periodo = debito × i; capitale restituito = PMT − interessi
- Interessi totali = PMT × n − prestito
Esempi svolti
1. Risparmi 100 alla fine di ogni mese per 2 anni al 6% annuo capitalizzato mensilmente. Trova il valore futuro.
i = 0.06 ÷ 12 = 0.005, n = 24. FV = 100 × (1.005^24 − 1) ÷ 0.005 = 100 × (1.12716 − 1) ÷ 0.005 = 100 × 25.432 = 2,543.20.
2. Quale unica somma di oggi vale quanto 500 all'anno per 5 anni al 4% annuo (pagamenti a fine anno)?
i = 0.04, n = 5. PV = 500 × (1 − 1.04^−5) ÷ 0.04 = 500 × (1 − 0.82193) ÷ 0.04 = 500 × 4.4518 = 2,225.91.
3. Trova la rata mensile di un mutuo di 100,000 al 6% annuo per 25 anni.
i = 0.005, n = 300. 1.005^−300 = 0.22396. PMT = 100,000 × 0.005 ÷ (1 − 0.22396) = 500 ÷ 0.77604 = 644.30.
4. Per quel mutuo, trova il totale pagato e gli interessi totali.
Totale pagato = 644.30 × 300 = 193,290. Interessi totali = 193,290 − 100,000 = 93,290. Quasi quanto il prestito!
5. Riga 1 del piano di ammortamento: debito 100,000, i = 0.005, rata 644.30. Trova interessi, capitale e nuovo debito.
Interessi = 100,000 × 0.005 = 500.00. Capitale = 644.30 − 500.00 = 144.30. Nuovo debito = 100,000 − 144.30 = 99,855.70.
6. Esempio indiano: un mutuo casa di ₹30,00,000 al 9% annuo per 20 anni, EMI mensile. Trova la EMI.
i = 0.09 ÷ 12 = 0.0075, n = 240. 1.0075^−240 = 0.16641. EMI = 30,00,000 × 0.0075 ÷ (1 − 0.16641) = 22,500 ÷ 0.83359 ≈ ₹26,992.
7. Stessi 100,000 al 6%, ma in 15 anni. Confronta gli interessi totali con quelli a 25 anni.
n = 180, 1.005^−180 = 0.40748. PMT = 500 ÷ 0.59252 = 843.86. Totale = 843.86 × 180 = 151,895; interessi ≈ 51,895. Si risparmiano circa 41,400 rispetto a 25 anni, con circa 200 in più al mese.
Errori comuni
- Usare il tasso annuo come i. Per rate mensili al 6% annuo, i = 0.005, non 0.06.
- Usare gli anni come n. Per 25 anni di rate mensili, n = 300.
- Pensare che ogni rata riduca il debito dell'intera rata. Solo la parte di capitale riduce il debito.
- Pensare che una durata più lunga costi meno perché la rata è più piccola. Gli interessi totali sono molto più alti.