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Rendite: pagamenti uguali, montante e valore attuale

Una rendita è una serie di pagamenti uguali fatti a intervalli di tempo uguali, come un risparmio mensile o la rata di un prestito. Ogni pagamento guadagna interesse composto, quindi i pagamenti formano una serie geometrica. Montante di una rendita posticipata (pagamenti alla fine di ogni periodo): FV = P[(1+i)ⁿ − 1]/i. Valore attuale (quanto valgono oggi i pagamenti): PV = P[1 − (1+i)⁻ⁿ]/i. I prestiti usano il PV: la somma prestata è uguale al valore attuale di tutte le rate.

🎬 Storia passo dopo passo

  1. Ogni anno, alla fine dell'anno, metti 1,000 su un conto di risparmio. Importi uguali, intervalli uguali. Questa è una rendita.
  2. Il conto dà il 5% all'anno, a interesse composto. Il primo versamento guadagna interesse per 4 anni, l'ultimo per nessuno. Quindi la prima pila cresce di più.
  3. Somma tutte le pile cresciute: 1,000 + 1,050 + 1,102.50 + … Formano una serie geometrica di ragione 1.05. Il totale è il montante: circa 5,526.
  4. Ora chiediti: quanto valgono oggi questi 5 pagamenti? Riporta ognuno al tempo 0. Più il pagamento è lontano, più si riduce. Il totale è il valore attuale: circa 4,329.
  5. Un prestito funziona allo stesso modo. Una banca presta 10,000 oggi al 5%. La rata annuale uguale che lo ripaga è quella il cui valore attuale è 10,000: circa 2,310.
  6. Tocca a te. Cambia il pagamento, il tasso e il numero di periodi. Guarda come cambiano montante e valore attuale.

Suggerimento: trascina la scena 3D per ruotarla. Usa due dita per zoomare.

🤔 Dubbi comuni, chiariti

Perché i pagamenti devono essere uguali?

Pagamenti uguali rendono gli importi cresciuti una serie geometrica pulita, così una sola formula li somma. Pagamenti diversi vanno fatti crescere uno per uno.

Perché il primo pagamento cresce di più?

Resta sul conto più a lungo e guadagna interessi sugli interessi per n − 1 periodi. Guarda la pila più a sinistra nel passo 2.

Da dove viene la formula?

Dalla somma della serie geometrica a(rⁿ − 1)/(r − 1) con a = P e r = 1 + i. Il 3D somma le pile nel totale verde.

Perché il valore attuale è minore del totale pagato?

Il denaro futuro vale meno oggi, perché il denaro di oggi potrebbe guadagnare interesse. Ogni pagamento più lontano si riduce di più quando viene attualizzato.

Perché restituisco più di quanto ho preso in prestito?

La banca riceve interessi sul debito non ancora pagato in ogni periodo. Il prestito è uguale al PV delle rate, ma la loro somma semplice è maggiore.

Cosa succede quando il tasso è 0?

Nessuna crescita e nessuna attualizzazione: FV = PV = n × P. Porta il cursore del tasso a 0 per vedere tutte le pile uguali.

Che cos'è una rendita?

Una rendita è un insieme di pagamenti uguali fatti a intervalli di tempo uguali (ogni mese, ogni anno).

Simboli: P = pagamento di ogni periodo, i = tasso di interesse per periodo (in forma decimale), n = numero di pagamenti. Per pagamenti mensili con tasso annuo r: i = r/12, n = 12 × anni.

Montante: una serie geometrica

Con pagamenti alla fine di ogni periodo, il primo pagamento guadagna interesse per n − 1 periodi, l'ultimo per 0. Quindi

FV = P + P(1+i) + P(1+i)² + … + P(1+i)ⁿ⁻¹

Questa è una serie geometrica con primo termine P, ragione (1+i) e n termini. Usando Sn = a(rⁿ − 1)/(r − 1):

FV = P · [(1+i)ⁿ − 1] / i

In una rendita anticipata ogni pagamento ha un periodo in più di interesse: FVanticipata = FV × (1+i).

Un fondo di ammortamento chiede il contrario: quale pagamento P porta a un montante FV desiderato? P = FV · i / [(1+i)ⁿ − 1].

Valore attuale di una rendita

Il denaro di oggi vale più della stessa somma più tardi, perché il denaro di oggi può guadagnare interesse. Per riportare a oggi un pagamento lontano k periodi, dividi per (1+i)k. Questo si chiama attualizzazione.

PV = P/(1+i) + P/(1+i)² + … + P/(1+i)ⁿ — ancora una serie geometrica (ragione 1/(1+i)):

PV = P · [1 − (1+i)⁻ⁿ] / i

Controllo: PV × (1+i)ⁿ = FV. Per una rendita perpetua n → ∞ e (1+i)⁻ⁿ → 0, quindi PV = P / i.

Prestiti e rate

Quando prendi in prestito L oggi e lo ripaghi con n rate uguali, la banca sceglie la rata in modo che il valore attuale di tutte le rate sia uguale a L:

P = L · i / [1 − (1+i)⁻ⁿ]

Ogni rata paga l'interesse dovuto sul debito residuo, e il resto riduce il prestito. All'inizio la rata è quasi tutta interesse; verso la fine è quasi tutta capitale. Totale pagato = n × P, e interessi totali = nP − L.

Per trovare quanti periodi servono, risolvi (1+i)ⁿ per n con i logaritmi: n = log(…) / log(1+i), poi arrotonda per eccesso.

Formule e definizioni chiave

Esempi svolti

1. 1,000 alla fine di ogni anno per 5 anni al 5% annuo composto annualmente. Trova il montante.

FV = 1000 × (1.05⁵ − 1)/0.05. Passo 1: 1.05⁵ = 1.27628. Passo 2: 1.27628 − 1 = 0.27628. Passo 3: ÷ 0.05 = 5.5256. Passo 4: × 1000 = 5,525.63.

2. Stessi pagamenti. Trova il valore attuale.

PV = 1000 × (1 − 1.05⁻⁵)/0.05. 1.05⁻⁵ = 0.78353. 1 − 0.78353 = 0.21647. ÷ 0.05 = 4.3295. PV = 4,329.48. Controllo: 4,329.48 × 1.27628 = 5,525.63 ✓.

3. 500 risparmiati alla fine di ogni mese per 1 anno al 12% annuo composto mensilmente. Trova il FV.

i = 0.12/12 = 0.01, n = 12. FV = 500 × (1.01¹² − 1)/0.01 = 500 × 12.6825 = 6,341.25.

4. Un prestito di 10,000 al 5% annuo è ripagato con 5 rate annuali uguali. Trova la rata.

P = 10000 × 0.05/(1 − 1.05⁻⁵) = 500/0.21647 = 2,309.75. Totale pagato = 11,548.74, interessi = 1,548.74.

5. Un prestito di 200,000 al 9% annuo per 3 anni, con rata mensile. Trova la rata.

i = 0.09/12 = 0.0075, n = 36. 1.0075⁻³⁶ = 0.76415. P = 200000 × 0.0075/(1 − 0.76415) = 1500/0.23585 = 6,359.95.

6. 1,000 alla fine di ogni anno al 5%. Dopo quanti anni il fondo supera per la prima volta 10,000?

1000(1.05ⁿ − 1)/0.05 ≥ 10000 → 1.05ⁿ ≥ 1.5 → n ≥ log 1.5 / log 1.05 = 8.31. Quindi 9 anni.

7. Una borsa di studio paga 5,000 ogni anno per sempre. Il denaro rende il 4% annuo. Quanto bisogna investire oggi?

Rendita perpetua: PV = P/i = 5000/0.04 = 125,000.

Errori comuni

Quiz di allenamento

1. I pagamenti di una rendita (dopo l'interesse) formano che tipo di successione?
2. Il FV di una rendita posticipata è:
3. Pagamenti all'inizio di ogni periodo formano una:
4. L'importo di un prestito è uguale al ___ delle sue rate.
5. PV di una rendita perpetua di 600 all'anno al 6%:

Esercizi: rispondi da solo

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Domande frequenti

Che cos'è una rendita in parole semplici?

Un piano di pagamenti uguali a intervalli di tempo uguali, come un risparmio mensile o la rata di un prestito.

Qual è la differenza tra rendita posticipata e rendita anticipata?

Nella rendita posticipata i pagamenti sono alla fine di ogni periodo; in quella anticipata sono all'inizio, quindi ogni pagamento guadagna un periodo in più di interesse.

Come si calcola la rata?

Rata = L × i / [1 − (1+i)⁻ⁿ], dove L è il prestito, i il tasso mensile e n il numero di mesi. Fa sì che il valore attuale di tutte le rate sia uguale al prestito.

Dove si studia

CBSE (India)Class 11Basics of Financial Mathematics
CBSE (India)Class 12Financial Mathematics
South Korea고등학교 2학년Numbers and the economy
South Korea고등학교 3학년Sequences and finance

Da studiare prima

Da studiare dopo

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