📘 CodingMarble Learn

Anuidades: pagamentos iguais, valor futuro e valor presente

Uma anuidade é uma sequência de pagamentos iguais feitos em intervalos de tempo iguais, como uma poupança mensal ou a parcela de um financiamento. Cada pagamento rende juros compostos, então os pagamentos formam uma progressão geométrica. Valor futuro de uma anuidade ordinária (pagamentos no fim de cada período): FV = P[(1+i)ⁿ − 1]/i. Valor presente (quanto os pagamentos valem hoje): PV = P[1 − (1+i)⁻ⁿ]/i. Nos financiamentos usamos o PV: o valor emprestado é igual ao valor presente de todas as parcelas.

🎬 História passo a passo

  1. Todo ano, no fim do ano, você coloca 1.000 numa conta de poupança. Valores iguais, intervalos iguais. Isso é uma anuidade.
  2. A conta rende 5% ao ano, com juros compostos. O primeiro depósito rende juros por 4 anos, o último não rende nada. Por isso a primeira pilha é a que mais cresce.
  3. Some todas as pilhas já crescidas: 1,000 + 1,050 + 1,102.50 + … Elas formam uma progressão geométrica de razão 1.05. O total é o valor futuro: cerca de 5,526.
  4. Agora pergunte: quanto esses 5 pagamentos valem hoje? Traga cada um de volta ao tempo 0. Quanto mais tarde o pagamento, mais ele encolhe. O total é o valor presente: cerca de 4,329.
  5. Um financiamento funciona do mesmo jeito. O banco empresta 10,000 hoje a 5%. A parcela anual igual que quita a dívida é aquela cujo valor presente é 10,000: cerca de 2,310.
  6. Sua vez. Mude o pagamento, a taxa e o número de períodos. Veja como o valor futuro e o valor presente mudam.

Dica: arraste a cena 3D para girar. Use dois dedos para dar zoom.

🤔 Dúvidas comuns, esclarecidas

Por que os pagamentos precisam ser iguais?

Pagamentos iguais deixam os valores capitalizados numa progressão geométrica certinha, e uma única fórmula soma tudo. Com pagamentos diferentes, é preciso capitalizar um por um.

Por que o primeiro pagamento é o que mais cresce?

Ele fica mais tempo na conta, ganhando juros sobre juros por n − 1 períodos. Observe a pilha da esquerda no passo 2.

De onde vem a fórmula?

Da soma da progressão geométrica a(rⁿ − 1)/(r − 1), com a = P e r = 1 + i. O 3D soma as pilhas no total verde.

Por que o valor presente é menor que o total pago?

Dinheiro no futuro vale menos hoje, porque o dinheiro de hoje poderia render juros. Cada pagamento mais tardio encolhe mais quando é descontado.

Por que eu pago mais do que pedi emprestado?

O banco cobra juros sobre o saldo devedor a cada período. O empréstimo é igual ao PV das parcelas, mas a soma simples delas é maior.

O que acontece quando a taxa é 0?

Não há crescimento nem desconto: FV = PV = n × P. Coloque o controle da taxa em 0 para ver todas as pilhas iguais.

O que é uma anuidade?

Uma anuidade é um conjunto de pagamentos iguais feitos em intervalos de tempo iguais (todo mês, todo ano).

Letras: P = pagamento de cada período, i = taxa de juros por período (em decimal), n = número de pagamentos. Para pagamentos mensais com taxa anual r: i = r/12 e n = 12 × anos.

Valor futuro: uma progressão geométrica

Com pagamentos no fim de cada período, o primeiro pagamento rende juros por n − 1 períodos e o último por 0. Então

FV = P + P(1+i) + P(1+i)² + … + P(1+i)ⁿ⁻¹

Essa é uma progressão geométrica com primeiro termo P, razão (1+i) e n termos. Usando Sn = a(rⁿ − 1)/(r − 1):

FV = P · [(1+i)ⁿ − 1] / i

Numa anuidade antecipada, cada pagamento ganha um período extra de juros: FVantecipada = FV × (1+i).

Um fundo de amortização pergunta o contrário: qual pagamento P leva a um FV desejado? P = FV · i / [(1+i)ⁿ − 1].

Valor presente de uma anuidade

O dinheiro de hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque o dinheiro de hoje pode render juros. Para trazer a hoje um pagamento que está a k períodos de distância, divida por (1+i)k. Isso se chama desconto.

PV = P/(1+i) + P/(1+i)² + … + P/(1+i)ⁿ — de novo uma progressão geométrica (razão 1/(1+i)):

PV = P · [1 − (1+i)⁻ⁿ] / i

Conferência: PV × (1+i)ⁿ = FV. Numa perpetuidade, n → ∞ e (1+i)⁻ⁿ → 0, então PV = P / i.

Financiamentos e parcelas

Quando você toma emprestado L hoje e paga com n parcelas iguais, o banco calcula a parcela de modo que o valor presente de todas elas seja igual a L:

P = L · i / [1 − (1+i)⁻ⁿ]

Cada parcela paga os juros devidos sobre o que ainda falta e o resto reduz a dívida. No começo, a maior parte é juros; perto do fim, a maior parte é amortização do principal. Total pago = n × P, e total de juros = nP − L.

Para descobrir quantos períodos são necessários, resolva (1+i)ⁿ para n com logaritmos: n = log(…) / log(1+i), e depois arredonde para cima.

Fórmulas e definições principais

Exemplos resolvidos

1. Depósitos de 1,000 no fim de cada ano, durante 5 anos, a 5% ao ano com capitalização anual. Calcule o valor futuro.

FV = 1000 × (1.05⁵ − 1)/0.05. Passo 1: 1.05⁵ = 1.27628. Passo 2: 1.27628 − 1 = 0.27628. Passo 3: ÷ 0.05 = 5.5256. Passo 4: × 1000 = 5,525.63.

2. Os mesmos pagamentos. Calcule o valor presente.

PV = 1000 × (1 − 1.05⁻⁵)/0.05. 1.05⁻⁵ = 0.78353. 1 − 0.78353 = 0.21647. ÷ 0.05 = 4.3295. PV = 4,329.48. Conferência: 4,329.48 × 1.27628 = 5,525.63 ✓.

3. Guarda-se 500 no fim de cada mês, durante 1 ano, a 12% ao ano com capitalização mensal. Calcule o FV.

i = 0.12/12 = 0.01, n = 12. FV = 500 × (1.01¹² − 1)/0.01 = 500 × 12.6825 = 6,341.25.

4. Um empréstimo de 10,000 a 5% ao ano é pago em 5 parcelas anuais iguais. Calcule a parcela.

P = 10000 × 0.05/(1 − 1.05⁻⁵) = 500/0.21647 = 2,309.75. Total pago = 11,548.74, juros = 1,548.74.

5. Um empréstimo de 200,000 a 9% ao ano por 3 anos, com parcela mensal. Calcule a parcela.

i = 0.09/12 = 0.0075, n = 36. 1.0075⁻³⁶ = 0.76415. P = 200000 × 0.0075/(1 − 0.76415) = 1500/0.23585 = 6,359.95.

6. Depósitos de 1,000 no fim de cada ano a 5%. Depois de quantos anos o fundo passa de 10,000 pela primeira vez?

1000(1.05ⁿ − 1)/0.05 ≥ 10000 → 1.05ⁿ ≥ 1.5 → n ≥ log 1.5 / log 1.05 = 8.31. Portanto, 9 anos.

7. Uma bolsa de estudos paga 5,000 por ano para sempre. O dinheiro rende 4% ao ano. Quanto é preciso investir hoje?

Perpetuidade: PV = P/i = 5000/0.04 = 125,000.

Erros comuns

Quiz de prática

1. Os pagamentos de uma anuidade (depois dos juros) formam que tipo de sequência?
2. O FV de uma anuidade ordinária é:
3. Pagamentos no início de cada período formam uma:
4. O valor de um empréstimo é igual ao ___ das suas parcelas.
5. PV de uma perpetuidade de 600 por ano a 6%:

Prática: responda você mesmo

Digite ou escolha sua resposta e aperte Conferir. Use a dica se travar; a solução completa aparece depois que você responder.

Perguntas frequentes

O que é uma anuidade, em palavras simples?

É um plano de pagamentos iguais em intervalos de tempo iguais, como uma poupança mensal ou a parcela de um financiamento.

Qual é a diferença entre anuidade ordinária e anuidade antecipada?

Na anuidade ordinária os pagamentos são no fim de cada período; na antecipada são no início, então cada pagamento rende um período extra de juros.

Como se calcula a parcela do financiamento?

Parcela = L × i / [1 − (1+i)⁻ⁿ], onde L é o empréstimo, i a taxa mensal e n o número de meses. Assim o valor presente de todas as parcelas fica igual ao empréstimo.

Onde isso é ensinado

CBSE (India)Class 11Basics of Financial Mathematics
CBSE (India)Class 12Financial Mathematics
South Korea고등학교 2학년Numbers and the economy
South Korea고등학교 3학년Sequences and finance

Aprenda antes

Aprenda depois

Aulas relacionadas

Todas as aulas de Maths