O que é uma anuidade?
Uma anuidade é uma lista de pagamentos iguais feitos em intervalos de tempo iguais. Aluguel, um plano de poupança mensal e a parcela de um empréstimo são anuidades.
Características principais
- Pagamento (PMT): o valor fixo de cada vez.
- Intervalo de pagamento: o tempo entre os pagamentos (mês, trimestre, ano).
- Prazo: o tempo total do primeiro ao último pagamento.
- Taxa de juros: a taxa anual, dividida por período: i = taxa ÷ pagamentos por ano.
- Número de pagamentos: n = anos × pagamentos por ano.
Em uma anuidade simples ordinária, os pagamentos são feitos no fim de cada período, e os juros são capitalizados com a mesma frequência dos pagamentos (pagamentos mensais, capitalização mensal).
Valor futuro e valor presente
Valor futuro FV = PMT × ((1 + i)^n − 1) ÷ i: quanto uma anuidade de poupança chega a valer.
Valor presente PV = PMT × (1 − (1 + i)^−n) ÷ i: quanto dinheiro hoje equivale a todos os pagamentos futuros. Um empréstimo é um valor presente.
Mudando as condições de uma anuidade
Mude uma coisa de cada vez e observe o resultado (teste no 3D):
- Taxa de juros maior → parcela maior para o mesmo empréstimo e mais juros no total. Na poupança, uma taxa maior deixa o valor futuro maior.
- Prazo mais longo → parcela menor, mas muito mais parcelas, então muito mais juros no total.
- Pagamentos mais frequentes (semanais em vez de mensais) → o saldo da dívida cai mais cedo, então os juros ficam um pouco menores.
- Parcela regular maior → o empréstimo acaba anos antes e o total de juros cai bastante.
- Começar a poupar mais cedo → os juros compostos têm mais tempo para trabalhar, então o valor futuro cresce muito.
Uma planilha ou uma calculadora financeira (função TVM) refaz a conta rapidamente, e assim você compara as opções.
Financiamentos
Um financiamento imobiliário (mortgage) é um empréstimo para comprar um terreno ou uma casa. O imóvel é a garantia: se o devedor parar de pagar, o credor pode ficar com ele.
- Entrada: o dinheiro que você mesmo paga no início. Preço − entrada = empréstimo (principal).
- Período de amortização: o tempo total para quitar a dívida, em geral de 20 a 30 anos.
- Prazo do contrato: em alguns países a taxa é fixa só por um prazo menor (por exemplo, 5 anos) e depois é renovada.
- Taxa fixa ou variável: a taxa fixa não muda; a variável acompanha o mercado.
- Frequência de pagamento: mensal, quinzenal (26 por ano) ou semanal.
- Custos extras: taxas, seguro e imposto sobre o imóvel.
Montando uma tabela de amortização
Uma tabela de amortização mostra cada pagamento, linha por linha. Em cada linha:
- Juros = saldo × i.
- Principal pago = parcela − juros.
- Novo saldo = saldo anterior − principal pago.
Exemplo: empréstimo de 100,000 a 6% ao ano, mensal, i = 0.005, parcela 644.30.
| # | Parcela | Juros | Principal | Saldo |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 100,000.00 | |||
| 1 | 644.30 | 500.00 | 144.30 | 99,855.70 |
| 2 | 644.30 | 499.28 | 145.02 | 99,710.68 |
| 3 | 644.30 | 498.55 | 145.75 | 99,564.93 |
A coluna de juros cai um pouco a cada linha e a coluna de principal sobe. A última parcela pode diferir alguns centavos para o saldo ficar exatamente zero.
Experimente
No 3D, coloque taxa de 6%, 25 anos, 12 pagamentos por ano. Anote o total de juros. Agora mude só os anos para 15. Preveja primeiro: o total de juros vai subir ou descer? Depois confira. Em seguida, mantenha 25 anos e troque para 26 pagamentos por ano.
Em casa: monte uma tabela de amortização de 4 linhas em uma planilha, usando as três regras acima, e compare com a tabela desta página.
Fórmulas e definições principais
- i = taxa anual ÷ pagamentos por ano, n = anos × pagamentos por ano
- FV = PMT × [(1 + i)^n − 1] ÷ i
- PV = PMT × [1 − (1 + i)^−n] ÷ i
- PMT = PV × i ÷ [1 − (1 + i)^−n]
- Juros em um período = saldo × i; principal pago = PMT − juros
- Total de juros = PMT × n − empréstimo
Exemplos resolvidos
1. Você poupa 100 no fim de cada mês durante 2 anos, a 6% ao ano com capitalização mensal. Calcule o valor futuro.
i = 0.06 ÷ 12 = 0.005, n = 24. FV = 100 × (1.005^24 − 1) ÷ 0.005 = 100 × (1.12716 − 1) ÷ 0.005 = 100 × 25.432 = 2,543.20.
2. Qual valor único, hoje, equivale a 500 por ano durante 5 anos a 4% ao ano (pagamentos no fim do ano)?
i = 0.04, n = 5. PV = 500 × (1 − 1.04^−5) ÷ 0.04 = 500 × (1 − 0.82193) ÷ 0.04 = 500 × 4.4518 = 2,225.91.
3. Calcule a parcela mensal de um financiamento de 100,000 a 6% ao ano em 25 anos.
i = 0.005, n = 300. 1.005^−300 = 0.22396. PMT = 100,000 × 0.005 ÷ (1 − 0.22396) = 500 ÷ 0.77604 = 644.30.
4. Para esse financiamento, calcule o total pago e o total de juros.
Total pago = 644.30 × 300 = 193,290. Total de juros = 193,290 − 100,000 = 93,290. Quase tanto quanto o empréstimo!
5. Linha 1 da tabela de amortização: saldo 100,000, i = 0.005, parcela 644.30. Calcule os juros, o principal e o novo saldo.
Juros = 100,000 × 0.005 = 500.00. Principal = 644.30 − 500.00 = 144.30. Novo saldo = 100,000 − 144.30 = 99,855.70.
6. Exemplo da Índia: um financiamento de casa de ₹30,00,000 a 9% ao ano por 20 anos, com EMI mensal. Calcule o EMI.
i = 0.09 ÷ 12 = 0.0075, n = 240. 1.0075^−240 = 0.16641. EMI = 30,00,000 × 0.0075 ÷ (1 − 0.16641) = 22,500 ÷ 0.83359 ≈ ₹26,992.
7. Os mesmos 100,000 a 6%, mas em 15 anos. Compare o total de juros com o de 25 anos.
n = 180, 1.005^−180 = 0.40748. PMT = 500 ÷ 0.59252 = 843.86. Total = 843.86 × 180 = 151,895; juros ≈ 51,895. Isso economiza cerca de 41,400 em relação a 25 anos, por cerca de 200 a mais por mês.
Erros comuns
- Usar a taxa anual como i. Para pagamentos mensais a 6% ao ano, i = 0.005, não 0.06.
- Usar anos como n. Para 25 anos de pagamentos mensais, n = 300.
- Achar que cada parcela diminui a dívida pelo valor inteiro. Só a parte de principal reduz o saldo.
- Achar que um prazo mais longo sai mais barato porque a parcela é menor. O total de juros é muito maior.