Accélération de la pesanteur et sa variation avec l'altitude et la profondeur

g et son lien avec G

L'accélération de la pesanteur (g) est l'accélération d'un corps qui tombe librement sous l'attraction de la Terre. Prenons un corps de masse m à la surface. L'attraction de la Terre sur lui est GMm/R². D'après la deuxième loi de Newton, cette force = mg. Donc

mg = GMm/R² → g = GM/R²

La masse m disparaît du calcul : une pierre et une plume tombent avec le même g (sans air). Avec M = 6 × 10²⁴ kg et R = 6.4 × 10⁶ m, on trouve g ≈ 9.8 m/s².

Le poids = mg (une force, en N). La masse (kg) est la quantité de matière et reste la même partout. Le poids change quand g change.

Variation de g avec l'altitude

À une hauteur h au-dessus de la surface, la distance au centre est (R + h). Donc

g_h = GM/(R + h)² = g R²/(R + h)²

Pour de petites hauteurs (h ≪ R)

1. g_h = g (1 + h/R)⁻²
2. Règle du binôme : (1 + x)⁻² ≈ 1 − 2x quand x est petit.
3. g_h ≈ g (1 − 2h/R)

Donc g diminue d'une fraction 2h/R. À h = 32 km, 2h/R = 1 %, donc g diminue de 1 %.

Utilise la formule exacte quand h n'est pas petit (comme h = R ou h = R/2).

Variation de g avec la profondeur

Descends dans une mine à la profondeur d. Maintenant la distance au centre est (R − d).

1. La couche extérieure d'épaisseur d t'attire également de tous les côtés, donc elle ne donne aucune force résultante.
2. Seule la sphère intérieure de rayon (R − d) t'attire. Sa masse (densité ρ uniforme) est M' = M (R − d)³/R³.
3. g_d = GM'/(R − d)² = GM (R − d)/R³
4. g_d = g (1 − d/R)

C'est exact pour une Terre uniforme. C'est une droite : g diminue régulièrement quand tu descends.

Au centre

d = R donne g = 0. Au centre, la Terre t'attire également dans toutes les directions. Tu serais en apesanteur (mais écrasé par une pression énorme !).

Vue d'ensemble : g en fonction de la distance r

• À l'intérieur (r < R) : g = g_s r/R, une droite qui part de 0 au centre.
• À la surface (r = R) : g est maximal, g_s ≈ 9.8 m/s².
• À l'extérieur (r > R) : g = g_s R²/r², une courbe qui tend vers zéro.

Donc g diminue quand on monte et aussi quand on descend. Pour la même petite distance x, monter (2x/R) diminue g deux fois plus que descendre (x/R).

Autres petites variations (pour la culture)

La Terre est un peu aplatie aux pôles et elle tourne. Donc g vaut environ 9.83 m/s² aux pôles et environ 9.78 m/s² à l'équateur.

À toi : mesurer g avec un pendule

Attache un petit écrou lourd à un fil de 1 m. Laisse-le osciller doucement (petit angle). Chronomètre 20 oscillations avec le chronomètre de ton téléphone et divise par 20 pour obtenir T. Ensuite g = 4π²L/T². Avec L = 1 m, tu dois trouver T ≈ 2.0 s et g proche de 9.8 m/s². Dans la 3D, fais glisser la balle à 1.0 R et vérifie que l'affichage indique 9.8.

Formules et définitions clés

• g = GM/R²
• GM = gR²
• g_h = g R²/(R + h)²
• g_h ≈ g(1 − 2h/R) pour h ≪ R
• g_d = g(1 − d/R)
• g = 0 au centre
• Poids W = mg

Exemples résolus

Erreurs fréquentes

• Utiliser g(1 − 2h/R) pour de grandes hauteurs comme h = R. Cela ne marche que si h est très petit devant R ; sinon utilise g R²/(R + h)².
• Croire que g augmente quand on descend dans une mine. Il diminue : g_d = g(1 − d/R).
• Dire que la masse change sur la Lune. La masse reste la même ; seul le poids (mg) change.
• Croire que g dépend de la masse du corps qui tombe. Le m disparaît : g = GM/R² ne dépend que de la planète.