g y su relación con G
La aceleración de la gravedad (g) es la aceleración de un cuerpo que cae libremente por la atracción de la Tierra. Toma un cuerpo de masa m en la superficie. La fuerza con que la Tierra lo atrae es GMm/R². Por la segunda ley de Newton, esa fuerza = mg. Entonces
mg = GMm/R² → g = GM/R²
La masa m se cancela, así que una piedra y una pluma caen con la misma g (si no hay aire). Con M = 6 × 10²⁴ kg y R = 6.4 × 10⁶ m, g ≈ 9.8 m/s².
Peso = mg (una fuerza, en N). Masa (kg) es la cantidad de materia y es la misma en cualquier lugar. El peso cambia cuando cambia g.
Cambio de g con la altura
A una altura h sobre la superficie, la distancia al centro es (R + h). Entonces
g_h = GM/(R + h)² = g R²/(R + h)²
Para alturas pequeñas (h ≪ R)
- g_h = g (1 + h/R)⁻²
- Regla del binomio: (1 + x)⁻² ≈ 1 − 2x cuando x es pequeño.
- g_h ≈ g (1 − 2h/R)
Así, g disminuye una fracción 2h/R. A h = 32 km, 2h/R = 1%, es decir, g baja un 1%.
Usa la fórmula exacta cuando h no es pequeña (como h = R o h = R/2).
Cambio de g con la profundidad
Baja a una mina hasta una profundidad d. Ahora la distancia al centro es (R − d).
- La capa exterior de grosor d te atrae por igual desde todos los lados, así que no produce fuerza neta.
- Solo te atrae la esfera interior de radio (R − d). Su masa (con densidad uniforme ρ) es M' = M (R − d)³/R³.
- g_d = GM'/(R − d)² = GM (R − d)/R³
- g_d = g (1 − d/R)
Esto es exacto para una Tierra uniforme. Es una recta: g baja de forma pareja al ir bajando.
En el centro
Con d = R se obtiene g = 0. En el centro, la Tierra te atrae por igual en todas las direcciones. Te sentirías ingrávido (¡pero aplastado por una presión enorme!).
El panorama completo: g frente a la distancia r
- Dentro (r < R): g = g_s r/R, una recta que parte de 0 en el centro.
- En la superficie (r = R): g es la mayor, g_s ≈ 9.8 m/s².
- Fuera (r > R): g = g_s R²/r², una curva que cae hacia cero.
Así, g disminuye tanto al subir como al bajar. Para la misma distancia pequeña x, subir (2x/R) reduce g el doble que bajar (x/R).
Otros cambios pequeños (por curiosidad)
La Tierra está un poco achatada en los polos y además gira. Por eso g vale unos 9.83 m/s² en los polos y unos 9.78 m/s² en el ecuador.
Pruébalo: mide g con un péndulo
Ata una tuerca pequeña y pesada a un hilo de 1 m. Déjala oscilar suavemente (ángulo pequeño). Cronometra 20 oscilaciones con el cronómetro del móvil y divide entre 20 para obtener T. Luego g = 4π²L/T². Con L = 1 m deberías obtener T ≈ 2.0 s y una g cercana a 9.8 m/s². En el 3D, desliza la bola hasta 1.0 R y comprueba que el valor mostrado es 9.8.
Fórmulas y definiciones clave
- g = GM/R²
- GM = gR²
- g_h = g R²/(R + h)²
- g_h ≈ g(1 − 2h/R) para h ≪ R
- g_d = g(1 − d/R)
- g = 0 en el centro
- Peso W = mg
Ejemplos resueltos
1. Halla g en la superficie. M = 6 × 10²⁴ kg, R = 6.4 × 10⁶ m, G = 6.67 × 10⁻¹¹.
g = GM/R² = 4.0 × 10¹⁴ / 4.096 × 10¹³ ≈ 9.77 m/s² ≈ 9.8 m/s².
2. Halla g a una altura h = R/2.
g_h = g R²/(1.5R)² = g/2.25 = 9.8/2.25 ≈ 4.36 m/s².
3. Halla g a una altura de 64 km (R = 6400 km).
h ≪ R, así que g_h ≈ g(1 − 2h/R) = 9.8 (1 − 128/6400) = 9.8 × 0.98 ≈ 9.60 m/s².
4. Halla g a una profundidad de 1600 km.
g_d = g(1 − d/R) = 9.8 (1 − 1600/6400) = 9.8 × 0.75 = 7.35 m/s².
5. Un hombre pesa 600 N en la superficie. ¿Cuánto pesa a una altura igual a R?
g_h = g R²/(2R)² = g/4. Peso = 600/4 = 150 N.
6. ¿A qué altura g es un 1% menor que en la superficie? (R = 6400 km)
2h/R = 0.01 → h = 0.005 R = 32 km.
7. Halla la profundidad a la que g es igual que a una altura de 10 km (h pequeña).
g(1 − d/R) = g(1 − 2h/R) → d = 2h = 20 km.
8. La masa de un planeta es 2 veces la de la Tierra y su radio es 2 veces el de la Tierra. Halla g allí.
g' = G(2M)/(2R)² = (2/4) g = g/2 = 4.9 m/s².
Errores comunes
- Usar g(1 − 2h/R) para alturas grandes como h = R. Solo vale cuando h es mucho menor que R; si no, usa g R²/(R + h)².
- Pensar que g aumenta al bajar a una mina. Disminuye: g_d = g(1 − d/R).
- Decir que la masa cambia en la Luna. La masa es la misma; solo cambia el peso (mg).
- Pensar que g depende de la masa del cuerpo que cae. La m se cancela: g = GM/R² depende solo del planeta.