g и его связь с G
Ускорение свободного падения (g) — это ускорение тела, которое свободно падает под действием притяжения Земли. Возьмём тело массой m на поверхности. Сила притяжения Земли равна GMm/R². По второму закону Ньютона эта сила равна mg. Значит,
mg = GMm/R² → g = GM/R²
Масса m сокращается, поэтому камень и пёрышко падают с одинаковым g (если нет воздуха). При M = 6 × 10²⁴ кг и R = 6.4 × 10⁶ м получаем g ≈ 9.8 м/с².
Вес = mg (это сила, в ньютонах). Масса (в кг) — это количество вещества, и везде она одинакова. Вес меняется, когда меняется g.
Изменение g с высотой
На высоте h над поверхностью расстояние до центра равно (R + h). Поэтому
g_h = GM/(R + h)² = g R²/(R + h)²
Для малых высот (h ≪ R)
- g_h = g (1 + h/R)⁻²
- Правило бинома: (1 + x)⁻² ≈ 1 − 2x, когда x мало.
- g_h ≈ g (1 − 2h/R)
Значит, g уменьшается на долю 2h/R. При h = 32 км получаем 2h/R = 1%, то есть g уменьшается на 1%.
Если h не мала (например, h = R или h = R/2), используй точную формулу.
Изменение g с глубиной
Спустимся в шахту на глубину d. Теперь расстояние до центра равно (R − d).
- Внешний слой толщиной d притягивает тебя одинаково со всех сторон, поэтому он даёт нулевую результирующую силу.
- Притягивает только внутренний шар радиусом (R − d). Его масса (при одинаковой плотности ρ) равна M' = M (R − d)³/R³.
- g_d = GM'/(R − d)² = GM (R − d)/R³
- g_d = g (1 − d/R)
Для однородной Земли это точная формула. Это прямая линия: g равномерно уменьшается по мере спуска.
В центре
При d = R получаем g = 0. В центре Земля тянет тебя одинаково во все стороны. Ты бы почувствовал невесомость (но тебя сжимало бы огромное давление!).
Полная картина: g в зависимости от расстояния r
- Внутри (r < R): g = g_s r/R, прямая линия, начинающаяся с 0 в центре.
- На поверхности (r = R): g наибольшее, g_s ≈ 9.8 м/с².
- Снаружи (r > R): g = g_s R²/r², кривая, убывающая к нулю.
Значит, g уменьшается и при подъёме, и при спуске. При одном и том же малом смещении x подъём (2x/R) уменьшает g вдвое сильнее, чем спуск (x/R).
Другие малые изменения (для интереса)
Земля чуть сплюснута у полюсов и вращается. Поэтому g около 9.83 м/с² на полюсах и около 9.78 м/с² на экваторе.
Попробуй сам: измерь g маятником
Привяжи маленькую тяжёлую гайку к нити длиной 1 м. Пусть она слегка качается (малый угол). Засеки на секундомере телефона время 20 качаний и раздели на 20, чтобы получить период T. Тогда g = 4π²L/T². При L = 1 м должно получиться T ≈ 2.0 с, а g близко к 9.8 м/с². В 3D сдвинь шар на 1.0 R и проверь, что на табло показано 9.8.
Главные формулы и определения
- g = GM/R²
- GM = gR²
- g_h = g R²/(R + h)²
- g_h ≈ g(1 − 2h/R) при h ≪ R
- g_d = g(1 − d/R)
- g = 0 в центре
- Вес W = mg
Разобранные примеры
1. Найди g на поверхности. M = 6 × 10²⁴ кг, R = 6.4 × 10⁶ м, G = 6.67 × 10⁻¹¹.
g = GM/R² = 4.0 × 10¹⁴ / 4.096 × 10¹³ ≈ 9.77 м/с² ≈ 9.8 м/с².
2. Найди g на высоте h = R/2.
g_h = g R²/(1.5R)² = g/2.25 = 9.8/2.25 ≈ 4.36 м/с².
3. Найди g на высоте 64 км (R = 6400 км).
h ≪ R, поэтому g_h ≈ g(1 − 2h/R) = 9.8 (1 − 128/6400) = 9.8 × 0.98 ≈ 9.60 м/с².
4. Найди g на глубине 1600 км.
g_d = g(1 − d/R) = 9.8 (1 − 1600/6400) = 9.8 × 0.75 = 7.35 м/с².
5. Человек весит 600 Н на поверхности. Каков его вес на высоте, равной R?
g_h = g R²/(2R)² = g/4. Вес = 600/4 = 150 Н.
6. На какой высоте g становится на 1% меньше, чем на поверхности? (R = 6400 км)
2h/R = 0.01 → h = 0.005 R = 32 км.
7. Найди глубину, на которой g равно g на высоте 10 км (малая h).
g(1 − d/R) = g(1 − 2h/R) → d = 2h = 20 км.
8. Масса планеты в 2 раза больше земной, а радиус в 2 раза больше земного. Найди g на ней.
g' = G(2M)/(2R)² = (2/4) g = g/2 = 4.9 м/с².
Частые ошибки
- Применять g(1 − 2h/R) для больших высот, например h = R. Формула работает, только когда h намного меньше R; иначе используй g R²/(R + h)².
- Думать, что g растёт, когда спускаешься в шахту. Оно уменьшается: g_d = g(1 − d/R).
- Говорить, что на Луне меняется масса. Масса остаётся той же; меняется только вес (mg).
- Думать, что g зависит от массы падающего тела. Масса m сокращается: g = GM/R² зависит только от планеты.