중력 가속도와 높이·깊이에 따른 변화

g와 G의 관계

중력 가속도(g)는 지구가 끌어당기는 힘만 받으며 자유 낙하하는 물체의 가속도입니다. 지표면에 질량 m인 물체가 있다고 합시다. 지구가 이 물체를 당기는 힘은 GMm/R²입니다. 뉴턴의 운동 제2법칙에 따라 이 힘 = mg입니다. 그러므로

mg = GMm/R² → g = GM/R²

질량 m이 약분되어 사라지므로, 돌과 깃털은 (공기가 없다면) 같은 g로 떨어집니다. M = 6 × 10²⁴ kg, R = 6.4 × 10⁶ m이면 g ≈ 9.8 m/s²입니다.

무게 = mg (힘이며 단위는 N)입니다. 질량(kg)은 물질의 양이고 어디에서나 같습니다. g가 변하면 무게가 변합니다.

높이에 따른 g의 변화

지표면에서 높이 h인 곳은 지구 중심에서 (R + h)만큼 떨어져 있습니다. 따라서

g_h = GM/(R + h)² = g R²/(R + h)²

높이가 작을 때 (h ≪ R)

1. g_h = g (1 + h/R)⁻²
2. 이항 근사: x가 작으면 (1 + x)⁻² ≈ 1 − 2x.
3. g_h ≈ g (1 − 2h/R)

즉 g는 2h/R의 비율만큼 줄어듭니다. h = 32 km이면 2h/R = 1%이므로 g가 1% 줄어듭니다.

h가 작지 않을 때(h = R이나 h = R/2 등)는 정확한 공식을 쓰세요.

깊이에 따른 g의 변화

깊이 d인 광산으로 내려갑니다. 이제 중심까지 거리는 (R − d)입니다.

1. 두께 d인 바깥쪽 껍질은 모든 방향에서 똑같이 당기므로 알짜 힘이 0입니다.
2. 반지름 (R − d)인 안쪽 구만 여러분을 당깁니다. 밀도 ρ가 일정하면 안쪽 구의 질량은 M' = M (R − d)³/R³입니다.
3. g_d = GM'/(R − d)² = GM (R − d)/R³
4. g_d = g (1 − d/R)

이것은 밀도가 균일한 지구에서 정확히 성립합니다. 직선 관계라서, 내려갈수록 g가 일정하게 줄어듭니다.

중심에서

d = R이면 g = 0입니다. 중심에서는 지구가 모든 방향에서 똑같이 당깁니다. 무중력처럼 느끼게 됩니다(하지만 엄청난 압력에 눌립니다!).

전체 그림: 거리 r에 따른 g

• 안쪽 (r < R): g = g_s r/R, 중심에서 0으로 시작하는 직선.
• 표면 (r = R): g가 가장 크며 g_s ≈ 9.8 m/s².
• 바깥쪽 (r > R): g = g_s R²/r², 0을 향해 줄어드는 곡선.

그래서 위로 가도, 아래로 가도 g는 줄어듭니다. 같은 작은 거리 x만큼 움직일 때, 올라가면 (2x/R)만큼 줄어서 내려갈 때(x/R)보다 두 배 더 많이 줄어듭니다.

그 밖의 작은 변화 (참고)

지구는 극 쪽이 약간 납작하고 자전합니다. 그래서 g는 극에서 약 9.83 m/s², 적도에서 약 9.78 m/s²입니다.

직접 해 보기: 진자로 g 재기

작고 무거운 너트를 1 m 실에 묶으세요. 작은 각도로 살살 흔듭니다. 휴대폰 스톱워치로 20번 왕복하는 시간을 재고 20으로 나누어 주기 T를 구합니다. 그러면 g = 4π²L/T²입니다. L = 1 m이면 T ≈ 2.0 s이고 g는 9.8 m/s²에 가깝게 나옵니다. 3D에서 공을 1.0 R로 옮겨 값이 9.8로 표시되는지 확인해 보세요.

핵심 공식과 정의

• g = GM/R²
• GM = gR²
• g_h = g R²/(R + h)²
• g_h ≈ g(1 − 2h/R) (h ≪ R일 때)
• g_d = g(1 − d/R)
• 중심에서 g = 0
• 무게 W = mg

풀이 예제

자주 하는 실수

• h = R처럼 큰 높이에서 g(1 − 2h/R)을 쓰는 것. 이 식은 h가 R보다 훨씬 작을 때만 맞습니다. 그 밖에는 g R²/(R + h)²을 쓰세요.
• 광산으로 내려가면 g가 커진다고 생각하는 것. 오히려 작아집니다: g_d = g(1 − d/R).
• 달에 가면 질량이 변한다고 말하는 것. 질량은 그대로이고 무게(mg)만 변합니다.
• g가 떨어지는 물체의 질량에 따라 달라진다고 생각하는 것. m이 약분되므로 g = GM/R²은 행성에만 달려 있습니다.