g e sua ligação com G
A aceleração da gravidade (g) é a aceleração de um corpo que cai livremente sob a atração da Terra. Pegue um corpo de massa m na superfície. A atração da Terra sobre ele é GMm/R². Pela segunda lei de Newton, essa força = mg. Então
mg = GMm/R² → g = GM/R²
A massa m se cancela, então uma pedra e uma pena caem com o mesmo g (sem ar). Com M = 6 × 10²⁴ kg e R = 6.4 × 10⁶ m, g ≈ 9.8 m/s².
Peso = mg (uma força, em N). Massa (kg) é a quantidade de matéria e não muda em lugar nenhum. O peso muda quando g muda.
Variação de g com a altura
A uma altura h acima da superfície, a distância ao centro é (R + h). Então
g_h = GM/(R + h)² = g R²/(R + h)²
Para alturas pequenas (h ≪ R)
- g_h = g (1 + h/R)⁻²
- Regra do binômio: (1 + x)⁻² ≈ 1 − 2x quando x é pequeno.
- g_h ≈ g (1 − 2h/R)
Assim g diminui de uma fração 2h/R. Em h = 32 km, 2h/R = 1%, então g diminui 1%.
Use a fórmula exata quando h não é pequeno (como h = R ou h = R/2).
Variação de g com a profundidade
Desça numa mina até a profundidade d. Agora a distância ao centro é (R − d).
- A casca externa de espessura d puxa você igualmente de todos os lados, então ela dá força resultante nula.
- Só a esfera interna de raio (R − d) puxa você. Sua massa (densidade uniforme ρ) é M' = M (R − d)³/R³.
- g_d = GM'/(R − d)² = GM (R − d)/R³
- g_d = g (1 − d/R)
Isso é exato para uma Terra uniforme. É uma linha reta: g diminui de forma regular conforme você desce.
No centro
d = R dá g = 0. No centro, a Terra puxa você igualmente em todas as direções. Você se sentiria sem peso (mas esmagado por uma pressão enorme!).
O quadro completo: g contra a distância r
- Dentro (r < R): g = g_s r/R, uma reta que parte de 0 no centro.
- Na superfície (r = R): g é o maior, g_s ≈ 9.8 m/s².
- Fora (r > R): g = g_s R²/r², uma curva que cai em direção a zero.
Então g diminui tanto quando você sobe quanto quando você desce. Para a mesma pequena distância x, subir (2x/R) reduz g duas vezes mais do que descer (x/R).
Outras pequenas variações (por curiosidade)
A Terra é um pouco achatada nos polos e gira. Por isso g é cerca de 9.83 m/s² nos polos e cerca de 9.78 m/s² no equador.
Experimente: meça g com um pêndulo
Amarre uma porca pequena e pesada a um fio de 1 m. Deixe-a balançar suavemente (ângulo pequeno). Cronometre 20 oscilações com o celular e divida por 20 para obter T. Depois g = 4π²L/T². Com L = 1 m você deve obter T ≈ 2.0 s e g perto de 9.8 m/s². No 3D, deslize a bola até 1.0 R e confira que o valor mostrado é 9.8.
Fórmulas e definições principais
- g = GM/R²
- GM = gR²
- g_h = g R²/(R + h)²
- g_h ≈ g(1 − 2h/R) para h ≪ R
- g_d = g(1 − d/R)
- g = 0 no centro
- Peso W = mg
Exemplos resolvidos
1. Ache g na superfície. M = 6 × 10²⁴ kg, R = 6.4 × 10⁶ m, G = 6.67 × 10⁻¹¹.
g = GM/R² = 4.0 × 10¹⁴ / 4.096 × 10¹³ ≈ 9.77 m/s² ≈ 9.8 m/s².
2. Ache g a uma altura h = R/2.
g_h = g R²/(1.5R)² = g/2.25 = 9.8/2.25 ≈ 4.36 m/s².
3. Ache g a uma altura de 64 km (R = 6400 km).
h ≪ R, então g_h ≈ g(1 − 2h/R) = 9.8 (1 − 128/6400) = 9.8 × 0.98 ≈ 9.60 m/s².
4. Ache g a uma profundidade de 1600 km.
g_d = g(1 − d/R) = 9.8 (1 − 1600/6400) = 9.8 × 0.75 = 7.35 m/s².
5. Um homem pesa 600 N na superfície. Quanto ele pesa a uma altura igual a R?
g_h = g R²/(2R)² = g/4. Peso = 600/4 = 150 N.
6. A que altura g fica 1% menor do que na superfície? (R = 6400 km)
2h/R = 0.01 → h = 0.005 R = 32 km.
7. Ache a profundidade em que g é igual ao g a uma altura de 10 km (h pequeno).
g(1 − d/R) = g(1 − 2h/R) → d = 2h = 20 km.
8. A massa de um planeta é 2 vezes a da Terra e seu raio é 2 vezes o da Terra. Ache g nele.
g' = G(2M)/(2R)² = (2/4) g = g/2 = 4.9 m/s².
Erros comuns
- Usar g(1 − 2h/R) para alturas grandes como h = R. Só vale quando h é bem menor que R; caso contrário use g R²/(R + h)².
- Pensar que g aumenta quando você desce numa mina. Ele diminui: g_d = g(1 − d/R).
- Dizer que a massa muda na Lua. A massa continua a mesma; só o peso (mg) muda.
- Pensar que g depende da massa do corpo que cai. O m se cancela: g = GM/R² depende só do planeta.