Fallbeschleunigung und ihre Änderung mit Höhe und Tiefe

g und der Zusammenhang mit G

Die Fallbeschleunigung (g) ist die Beschleunigung eines Körpers, der unter der Anziehung der Erde frei fällt. Nimm einen Körper der Masse m an der Oberfläche. Die Anziehungskraft der Erde auf ihn ist GMm/R². Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz ist diese Kraft = mg. Also gilt

mg = GMm/R² → g = GM/R²

Die Masse m kürzt sich weg. Darum fallen ein Stein und eine Feder mit demselben g (wenn keine Luft da ist). Mit M = 6 × 10²⁴ kg und R = 6.4 × 10⁶ m ergibt sich g ≈ 9.8 m/s².

Gewichtskraft = mg (eine Kraft, in N). Masse (kg) ist die Menge an Stoff und bleibt überall gleich. Die Gewichtskraft ändert sich, wenn sich g ändert.

Änderung von g mit der Höhe

In der Höhe h über der Oberfläche ist der Abstand vom Mittelpunkt (R + h). Also gilt

g_h = GM/(R + h)² = g R²/(R + h)²

Für kleine Höhen (h ≪ R)

1. g_h = g (1 + h/R)⁻²
2. Binomische Näherung: (1 + x)⁻² ≈ 1 − 2x, wenn x klein ist.
3. g_h ≈ g (1 − 2h/R)

g nimmt also um den Bruchteil 2h/R ab. Bei h = 32 km ist 2h/R = 1 %, also sinkt g um 1 %.

Nimm die genaue Formel, wenn h nicht klein ist (zum Beispiel h = R oder h = R/2).

Änderung von g mit der Tiefe

Gehe in einem Bergwerk bis zur Tiefe d hinab. Jetzt ist der Abstand vom Mittelpunkt (R − d).

1. Die äußere Schale der Dicke d zieht dich von allen Seiten gleich stark an, sie ergibt also keine Gesamtkraft.
2. Nur die innere Kugel mit dem Radius (R − d) zieht dich an. Ihre Masse (bei gleichmäßiger Dichte ρ) ist M' = M (R − d)³/R³.
3. g_d = GM'/(R − d)² = GM (R − d)/R³
4. g_d = g (1 − d/R)

Das gilt genau für eine Erde mit gleichmäßiger Dichte. Es ist eine gerade Linie: g nimmt beim Hinabgehen gleichmäßig ab.

Im Mittelpunkt

Für d = R ist g = 0. Im Mittelpunkt zieht die Erde dich in alle Richtungen gleich stark. Du wärst schwerelos (aber vom riesigen Druck zusammengepresst!).

Das ganze Bild: g gegen den Abstand r

• Innen (r < R): g = g_s r/R, eine Gerade, die im Mittelpunkt bei 0 beginnt.
• An der Oberfläche (r = R): g ist am größten, g_s ≈ 9.8 m/s².
• Außen (r > R): g = g_s R²/r², eine Kurve, die gegen null sinkt.

g nimmt also ab, wenn du nach oben gehst, und auch, wenn du nach unten gehst. Bei derselben kleinen Strecke x senkt der Weg nach oben (2x/R) das g doppelt so stark wie der Weg nach unten (x/R).

Weitere kleine Änderungen (zum Nachdenken)

Die Erde ist an den Polen etwas abgeflacht und sie dreht sich. Darum ist g an den Polen etwa 9.83 m/s² und am Äquator etwa 9.78 m/s².

Probier es aus: g mit einem Pendel messen

Binde eine kleine schwere Mutter an einen 1 m langen Faden. Lass sie sanft schwingen (kleiner Winkel). Stoppe 20 Schwingungen mit der Stoppuhr deines Handys und teile durch 20, um T zu bekommen. Dann ist g = 4π²L/T². Mit L = 1 m solltest du T ≈ 2.0 s und ein g nahe 9.8 m/s² erhalten. Schiebe in der 3D-Szene den Ball auf 1.0 R und prüfe, ob die Anzeige 9.8 zeigt.

Wichtige Formeln und Definitionen

• g = GM/R²
• GM = gR²
• g_h = g R²/(R + h)²
• g_h ≈ g(1 − 2h/R) für h ≪ R
• g_d = g(1 − d/R)
• g = 0 im Mittelpunkt
• Gewichtskraft W = mg

Gelöste Beispiele

Häufige Fehler

• g(1 − 2h/R) bei großen Höhen wie h = R benutzen. Das gilt nur, wenn h viel kleiner als R ist. Sonst nimm g R²/(R + h)².
• Glauben, dass g beim Hinabgehen in ein Bergwerk größer wird. Es wird kleiner: g_d = g(1 − d/R).
• Sagen, dass sich die Masse auf dem Mond ändert. Die Masse bleibt gleich, nur die Gewichtskraft (mg) ändert sich.
• Glauben, dass g von der Masse des fallenden Körpers abhängt. Das m kürzt sich weg: g = GM/R² hängt nur vom Planeten ab.