重力加速度と、高さ・深さによる変化

g と G の関係

重力加速度（g）は、地球の引力だけで自由に落ちる物体の加速度です。地表にある質量 m の物体を考えます。地球が引く力は GMm/R² です。ニュートンの運動の第2法則より、この力は mg に等しいので、

mg = GMm/R² → g = GM/R²

質量 m が消えるので、石と羽根は（空気がなければ）同じ g で落ちます。M = 6 × 10²⁴ kg、R = 6.4 × 10⁶ m とすると、g ≈ 9.8 m/s² です。

重さ = mg（力で、単位は N）。質量（kg）は物質の量で、どこでも変わりません。g が変わると重さが変わります。

高さによる g の変化

地表から高さ h のところでは、中心からの距離は (R + h) です。よって

g_h = GM/(R + h)² = g R²/(R + h)²

高さが小さいとき（h ≪ R）

1. g_h = g (1 + h/R)⁻²
2. 二項近似：x が小さいとき (1 + x)⁻² ≈ 1 − 2x。
3. g_h ≈ g (1 − 2h/R)

つまり g は 2h/R の割合だけ小さくなります。h = 32 km なら 2h/R = 1% なので、g は1%減ります。

h が小さくないとき（h = R や h = R/2 など）は、正確な式を使いましょう。

深さによる g の変化

鉱山を深さ d まで下りるとします。中心からの距離は (R − d) になります。

1. 厚さ d の外側の殻は、あらゆる方向から同じ力で引くので、正味の力はゼロです。
2. 引くのは半径 (R − d) の内側の球だけです。その質量（密度 ρ が一様）は M' = M (R − d)³/R³ です。
3. g_d = GM'/(R − d)² = GM (R − d)/R³
4. g_d = g (1 − d/R)

これは一様な地球なら正確に成り立ちます。直線の関係で、下りるほど g は一定の割合で小さくなります。

中心では

d = R のとき g = 0 です。中心では地球があらゆる方向から同じ力で引くので、無重力のように感じます（ただし、ものすごい圧力でつぶされますが！）。

全体像：距離 r と g のグラフ

• 内側（r < R）：g = g_s r/R。中心の0から始まる直線。
• 地表（r = R）：g が最大で、g_s ≈ 9.8 m/s²。
• 外側（r > R）：g = g_s R²/r²。0に近づいていく曲線。

このように、上へ行っても下へ行っても g は小さくなります。同じ小さな距離 x だと、上がるとき（2x/R）は下りるとき（x/R）の2倍も g が下がります。

そのほかの小さな変化（おまけ）

地球は極のところが少しつぶれていて、自転もしています。そのため g は、極で約 9.83 m/s²、赤道で約 9.78 m/s² です。

やってみよう：振り子で g を測る

小さくて重いナットを1 mの糸に結びます。小さい角度でそっと振らせます。スマホのストップウォッチで20往復の時間を測り、20で割って周期 T を出します。すると g = 4π²L/T² です。L = 1 m なら T ≈ 2.0 s、g は 9.8 m/s² に近い値になります。3Dでは、ボールを 1.0 R にスライドさせて、表示が 9.8 になることを確かめましょう。

重要な公式と用語

• g = GM/R²
• GM = gR²
• g_h = g R²/(R + h)²
• g_h ≈ g(1 − 2h/R)（h ≪ R のとき）
• g_d = g(1 − d/R)
• 中心では g = 0
• 重さ W = mg

例題

よくある間違い

• h = R のような大きな高さで g(1 − 2h/R) を使ってしまう。これは h が R よりずっと小さいときだけ使えます。それ以外は g R²/(R + h)² を使いましょう。
• 鉱山を下りると g が大きくなると思ってしまう。実際は小さくなります：g_d = g(1 − d/R)。
• 月では質量が変わると言ってしまう。質量は変わらず、変わるのは重さ（mg）だけです。
• g は落ちる物体の質量で決まると思ってしまう。m は消えるので、g = GM/R² は惑星だけで決まります。