g en het verband met G
De valversnelling (g) is de versnelling van een voorwerp dat vrij valt door de aantrekking van de aarde. Neem een voorwerp met massa m op het oppervlak. De aantrekkingskracht van de aarde erop is GMm/R². Volgens de tweede wet van Newton is die kracht = mg. Dus
mg = GMm/R² → g = GM/R²
De massa m valt weg, dus een steen en een veertje vallen met dezelfde g (zonder lucht). Met M = 6 × 10²⁴ kg en R = 6.4 × 10⁶ m is g ≈ 9.8 m/s².
Gewicht = mg (een kracht, in N). Massa (kg) is de hoeveelheid stof en blijft overal gelijk. Het gewicht verandert als g verandert.
Verandering van g met de hoogte
Op hoogte h boven het oppervlak is de afstand tot het middelpunt (R + h). Dus
g_h = GM/(R + h)² = g R²/(R + h)²
Voor kleine hoogtes (h ≪ R)
- g_h = g (1 + h/R)⁻²
- Binomiaalregel: (1 + x)⁻² ≈ 1 − 2x als x klein is.
- g_h ≈ g (1 − 2h/R)
Dus g wordt kleiner met een fractie 2h/R. Bij h = 32 km is 2h/R = 1%, dus g wordt 1% kleiner.
Gebruik de exacte formule als h niet klein is (zoals h = R of h = R/2).
Verandering van g met de diepte
Ga een mijn in tot diepte d. Nu is de afstand tot het middelpunt (R − d).
- De buitenste schil met dikte d trekt je van alle kanten even hard aan, dus die geeft geen netto kracht.
- Alleen de binnenste bol met straal (R − d) trekt aan je. De massa ervan (gelijkmatige dichtheid ρ) is M' = M (R − d)³/R³.
- g_d = GM'/(R − d)² = GM (R − d)/R³
- g_d = g (1 − d/R)
Dit klopt precies voor een aarde met gelijkmatige dichtheid. Het is een rechte lijn: g neemt gelijkmatig af als je dieper gaat.
In het middelpunt
d = R geeft g = 0. In het middelpunt trekt de aarde je in alle richtingen even hard. Je zou gewichtloos zijn (maar wel samengeperst door een enorme druk!).
Het hele plaatje: g tegen de afstand r
- Binnen (r < R): g = g_s r/R, een rechte lijn die bij 0 in het middelpunt begint.
- Aan het oppervlak (r = R): g is het grootst, g_s ≈ 9.8 m/s².
- Buiten (r > R): g = g_s R²/r², een kromme die naar nul gaat.
Dus g wordt kleiner als je omhoog gaat én als je omlaag gaat. Voor dezelfde kleine afstand x verlaagt omhoog gaan (2x/R) g twee keer zo sterk als omlaag gaan (x/R).
Andere kleine veranderingen (ter info)
De aarde is bij de polen een beetje afgeplat en draait om haar as. Daarom is g ongeveer 9.83 m/s² bij de polen en ongeveer 9.78 m/s² bij de evenaar.
Probeer het zelf: meet g met een slinger
Bind een kleine zware moer aan een draad van 1 m. Laat hem rustig slingeren (kleine hoek). Meet met de stopwatch van je telefoon de tijd van 20 slingeringen en deel door 20 om T te krijgen. Dan is g = 4π²L/T². Met L = 1 m krijg je T ≈ 2.0 s en een g dicht bij 9.8 m/s². Schuif in de 3D-scène de bal naar 1.0 R en controleer of de aflezing 9.8 laat zien.
Belangrijke formules en begrippen
- g = GM/R²
- GM = gR²
- g_h = g R²/(R + h)²
- g_h ≈ g(1 − 2h/R) voor h ≪ R
- g_d = g(1 − d/R)
- g = 0 in het middelpunt
- Gewicht W = mg
Uitgewerkte voorbeelden
1. Bereken g aan het oppervlak. M = 6 × 10²⁴ kg, R = 6.4 × 10⁶ m, G = 6.67 × 10⁻¹¹.
g = GM/R² = 4.0 × 10¹⁴ / 4.096 × 10¹³ ≈ 9.77 m/s² ≈ 9.8 m/s².
2. Bereken g op een hoogte h = R/2.
g_h = g R²/(1.5R)² = g/2.25 = 9.8/2.25 ≈ 4.36 m/s².
3. Bereken g op een hoogte van 64 km (R = 6400 km).
h ≪ R, dus g_h ≈ g(1 − 2h/R) = 9.8 (1 − 128/6400) = 9.8 × 0.98 ≈ 9.60 m/s².
4. Bereken g op een diepte van 1600 km.
g_d = g(1 − d/R) = 9.8 (1 − 1600/6400) = 9.8 × 0.75 = 7.35 m/s².
5. Een man weegt 600 N aan het oppervlak. Wat is zijn gewicht op een hoogte gelijk aan R?
g_h = g R²/(2R)² = g/4. Gewicht = 600/4 = 150 N.
6. Op welke hoogte is g 1% kleiner dan aan het oppervlak? (R = 6400 km)
2h/R = 0.01 → h = 0.005 R = 32 km.
7. Bereken de diepte waarop g gelijk is aan g op een hoogte van 10 km (kleine h).
g(1 − d/R) = g(1 − 2h/R) → d = 2h = 20 km.
8. De massa van een planeet is 2 keer die van de aarde en de straal is 2 keer die van de aarde. Bereken g daar.
g' = G(2M)/(2R)² = (2/4) g = g/2 = 4.9 m/s².
Veelgemaakte fouten
- g(1 − 2h/R) gebruiken voor grote hoogtes zoals h = R. Dat werkt alleen als h veel kleiner is dan R; gebruik anders g R²/(R + h)².
- Denken dat g groter wordt als je een mijn ingaat. Het wordt kleiner: g_d = g(1 − d/R).
- Zeggen dat de massa op de Maan verandert. De massa blijft gelijk; alleen het gewicht (mg) verandert.
- Denken dat g afhangt van de massa van het vallende voorwerp. De m valt weg: g = GM/R² hangt alleen van de planeet af.