g e il suo legame con G
L'accelerazione di gravità (g) è l'accelerazione di un corpo che cade liberamente per l'attrazione della Terra. Prendi un corpo di massa m sulla superficie. La forza con cui la Terra lo attira è GMm/R². Per la seconda legge di Newton questa forza = mg. Quindi
mg = GMm/R² → g = GM/R²
La massa m si semplifica, perciò un sasso e una piuma cadono con la stessa g (se non c'è aria). Con M = 6 × 10²⁴ kg e R = 6.4 × 10⁶ m, si ha g ≈ 9.8 m/s².
Il peso = mg (una forza, in N). La massa (kg) è la quantità di materia e resta uguale ovunque. Il peso cambia quando cambia g.
Come cambia g con l'altezza
A un'altezza h sopra la superficie, la distanza dal centro è (R + h). Quindi
g_h = GM/(R + h)² = g R²/(R + h)²
Per altezze piccole (h ≪ R)
- g_h = g (1 + h/R)⁻²
- Regola del binomio: (1 + x)⁻² ≈ 1 − 2x quando x è piccolo.
- g_h ≈ g (1 − 2h/R)
Quindi g diminuisce di una frazione 2h/R. A h = 32 km, 2h/R = 1%, quindi g cala dell'1%.
Usa la formula esatta quando h non è piccola (come h = R oppure h = R/2).
Come cambia g con la profondità
Scendi in una miniera a profondità d. Ora la distanza dal centro è (R − d).
- Il guscio esterno di spessore d ti attira in modo uguale da tutti i lati, quindi dà forza totale nulla.
- Ti attira solo la sfera interna di raggio (R − d). La sua massa (densità uniforme ρ) è M' = M (R − d)³/R³.
- g_d = GM'/(R − d)² = GM (R − d)/R³
- g_d = g (1 − d/R)
Questo è esatto per una Terra uniforme. È una retta: g cala in modo regolare mentre scendi.
Al centro
Con d = R si ha g = 0. Al centro la Terra ti attira in modo uguale in ogni direzione. Ti sentiresti senza peso (ma schiacciato da una pressione enorme!).
Il quadro completo: g in funzione della distanza r
- Dentro (r < R): g = g_s r/R, una retta che parte da 0 al centro.
- In superficie (r = R): g è massima, g_s ≈ 9.8 m/s².
- Fuori (r > R): g = g_s R²/r², una curva che scende verso zero.
Quindi g diminuisce sia quando sali sia quando scendi. Per lo stesso piccolo spostamento x, salire (2x/R) riduce g il doppio rispetto a scendere (x/R).
Altre piccole variazioni (per curiosità)
La Terra è un po' schiacciata ai poli e ruota su sé stessa. Perciò g vale circa 9.83 m/s² ai poli e circa 9.78 m/s² all'equatore.
Prova tu: misura g con un pendolo
Lega un piccolo dado pesante a un filo di 1 m. Lascialo oscillare piano (angolo piccolo). Cronometra 20 oscillazioni con il cronometro del telefono e dividi per 20 per avere T. Poi g = 4π²L/T². Con L = 1 m dovresti ottenere T ≈ 2.0 s e g vicina a 9.8 m/s². Nel 3D, porta la palla a 1.0 R e controlla che il valore mostrato sia 9.8.
Formule e definizioni chiave
- g = GM/R²
- GM = gR²
- g_h = g R²/(R + h)²
- g_h ≈ g(1 − 2h/R) per h ≪ R
- g_d = g(1 − d/R)
- g = 0 al centro
- Peso W = mg
Esempi svolti
1. Trova g in superficie. M = 6 × 10²⁴ kg, R = 6.4 × 10⁶ m, G = 6.67 × 10⁻¹¹.
g = GM/R² = 4.0 × 10¹⁴ / 4.096 × 10¹³ ≈ 9.77 m/s² ≈ 9.8 m/s².
2. Trova g a un'altezza h = R/2.
g_h = g R²/(1.5R)² = g/2.25 = 9.8/2.25 ≈ 4.36 m/s².
3. Trova g a un'altezza di 64 km (R = 6400 km).
h ≪ R, quindi g_h ≈ g(1 − 2h/R) = 9.8 (1 − 128/6400) = 9.8 × 0.98 ≈ 9.60 m/s².
4. Trova g a una profondità di 1600 km.
g_d = g(1 − d/R) = 9.8 (1 − 1600/6400) = 9.8 × 0.75 = 7.35 m/s².
5. Un uomo pesa 600 N in superficie. Quanto pesa a un'altezza pari a R?
g_h = g R²/(2R)² = g/4. Peso = 600/4 = 150 N.
6. A quale altezza g diventa l'1% più piccola che in superficie? (R = 6400 km)
2h/R = 0.01 → h = 0.005 R = 32 km.
7. Trova la profondità a cui g è uguale a g a un'altezza di 10 km (h piccola).
g(1 − d/R) = g(1 − 2h/R) → d = 2h = 20 km.
8. La massa di un pianeta è 2 volte quella della Terra e il suo raggio è 2 volte quello terrestre. Trova g su quel pianeta.
g' = G(2M)/(2R)² = (2/4) g = g/2 = 4.9 m/s².
Errori comuni
- Usare g(1 − 2h/R) per altezze grandi come h = R. Vale solo quando h è molto più piccola di R; altrimenti usa g R²/(R + h)².
- Pensare che g aumenti scendendo in una miniera. Diminuisce: g_d = g(1 − d/R).
- Dire che la massa cambia sulla Luna. La massa resta uguale; cambia solo il peso (mg).
- Pensare che g dipenda dalla massa del corpo che cade. La m si semplifica: g = GM/R² dipende solo dal pianeta.