重力加速度,以及它随高度和深度的变化

g 和 G 的关系

重力加速度(g)是物体只在地球引力作用下自由下落时的加速度。设地表有一个质量为 m 的物体,地球对它的引力是 GMm/R²。根据牛顿第二定律,这个力 = mg。所以

mg = GMm/R² → g = GM/R²

m 被约掉了,所以石头和羽毛(没有空气时)下落的 g 是一样的。取 M = 6 × 10²⁴ kg,R = 6.4 × 10⁶ m,得 g ≈ 9.8 m/s²。

重量 = mg(是力,单位 N)。质量(kg)表示物质的多少,在哪里都不变。g 变了,重量才会变。

g 随高度的变化

在地表上方高度 h 处,到地心的距离是 (R + h)。所以

g_h = GM/(R + h)² = g R²/(R + h)²

高度很小时(h ≪ R)

1. g_h = g (1 + h/R)⁻²
2. 二项式近似:x 很小时,(1 + x)⁻² ≈ 1 − 2x。
3. g_h ≈ g (1 − 2h/R)

所以 g 减小的比例是 2h/R。在 h = 32 km 时,2h/R = 1%,g 就减小 1%。

当 h 不小时(比如 h = R 或 h = R/2),要用精确公式。

g 随深度的变化

下到深度为 d 的矿井里,到地心的距离变成 (R − d)。

1. 厚度为 d 的外层球壳从四面八方同样地拉你,所以它的合力为零。
2. 只有半径为 (R − d) 的内部球体在拉你。它的质量(密度 ρ 均匀)是 M' = M (R − d)³/R³。
3. g_d = GM'/(R − d)² = GM (R − d)/R³
4. g_d = g (1 − d/R)

对密度均匀的地球,这个结果是精确的。它是一条直线:越往下,g 均匀地变小。

在地心

d = R 时,g = 0。在地心,地球从各个方向拉你的力相等。你会感到失重(不过会被巨大的压力挤压!)。

整体图像:g 与距离 r 的关系

• 内部(r < R):g = g_s r/R,从地心的 0 开始的一条直线。
• 地表(r = R):g 最大,g_s ≈ 9.8 m/s²。
• 外部(r > R):g = g_s R²/r²,一条向零靠近的曲线。

所以无论上升还是下降,g 都会变小。对同样很小的距离 x,上升时 g 减小 2x/R,是下降时 x/R 的两倍。

其他小变化(拓展)

地球在两极稍扁,而且在自转。所以两极的 g 约为 9.83 m/s²,赤道约为 9.78 m/s²。

动手试试:用单摆测 g

用 1 m 长的线系一个小而重的螺母。让它小角度轻轻摆动。用手机秒表测 20 次摆动的时间,再除以 20 得到周期 T。然后 g = 4π²L/T²。取 L = 1 m,你应该得到 T ≈ 2.0 s,g 接近 9.8 m/s²。在 3D 里,把球滑到 1.0 R,检查读数是不是 9.8。

重点公式和概念

• g = GM/R²
• GM = gR²
• g_h = g R²/(R + h)²
• g_h ≈ g(1 − 2h/R)(h ≪ R 时)
• g_d = g(1 − d/R)
• 地心处 g = 0
• 重量 W = mg

例题讲解

常见错误

• 在 h = R 这样很大的高度还用 g(1 − 2h/R)。它只在 h 远小于 R 时才成立,否则要用 g R²/(R + h)²。
• 以为下矿井时 g 会变大。其实 g 变小:g_d = g(1 − d/R)。
• 说质量在月球上会变。质量不变,变的只是重量(mg)。
• 以为 g 和下落物体的质量有关。m 被约掉了:g = GM/R² 只和行星有关。