Was ist Druck in einem Fluid?
Ein Fluid ist alles, was fließen kann: Flüssigkeiten und Gase. Ein ruhendes Fluid kann nicht seitlich an einer Fläche entlangschieben; es drückt nur senkrecht (normal) auf die Fläche.
Druck = Normalkraft ÷ Fläche: P = F/A. Einheit: Pascal (Pa) = N/m². Andere Einheiten: 1 atm = 1,013 × 10⁵ Pa; 1 bar = 10⁵ Pa; 1 Torr = 1 mm Quecksilbersäule.
Druck ist ein Skalar. An einem Punkt in einem ruhenden Fluid ist er in alle Richtungen gleich. Dichte ρ = Masse ÷ Volumen (Wasser: 1000 kg/m³).
Der Druck wächst mit der Tiefe
Stell dir eine dünne Wassersäule mit der Fläche A und der Höhe h vor. Ihr Gewicht ist mg = ρ(Ah)g. Das Wasser darunter muss dieses Gewicht tragen, plus die Luft, die von oben drückt. Also:
P × A = P₀ × A + ρAhg ⇒ P = P₀ + ρgh
- P₀ = Luftdruck an der Oberfläche.
- Überdruck (Gauge-Druck) = P − P₀ = ρgh (das zeigt ein Reifendruckmesser an).
- Absoluter Druck = P (inklusive der Luft).
Dieses zusätzliche ρgh gibt es nur wegen der Schwerkraft. In einem Raumschiff im freien Fall hat das Wasser in einer Flasche kein Gewicht, der Druck wäre oben und unten gleich.
Beispiel: 10 m Wasser ergeben ρgh = 1000 × 9.8 × 10 ≈ 1 × 10⁵ Pa, also ungefähr eine zusätzliche Atmosphäre.
Gleiche Tiefe, gleicher Druck (hydrostatisches Paradoxon)
In P = P₀ + ρgh kommen weder Fläche noch Form vor. Gefäße jeder Form, bis zur gleichen Höhe mit derselben Flüssigkeit gefüllt, haben also am Boden denselben Druck. Diese überraschende Tatsache heißt hydrostatisches Paradoxon.
Außerdem gilt: In einer zusammenhängenden ruhenden Flüssigkeit haben alle Punkte auf gleicher Höhe denselben Druck. Darum steht das Wasser in beiden Schenkeln eines U-Rohrs gleich hoch, und darum zeigt ein durchsichtiger Wasserschlauch beim Maurer auf zwei Wänden dieselbe Höhe an.
Barometer: Der Luftdruck trägt auf Meereshöhe eine Quecksilbersäule von 76 cm, denn P₀ = ρgh = 13600 × 9.8 × 0.76 ≈ 1,013 × 10⁵ Pa. Ein offenes Manometer misst den Überdruck am Höhenunterschied der Flüssigkeit in seinen beiden Schenkeln.
Das Pascalsche Gesetz
Pascalsches Gesetz: Wirkt ein zusätzlicher Druck auf ein eingeschlossenes Fluid, wird er ohne Verlust an jeden Teil des Fluids und an die Wände des Behälters weitergegeben.
Warum? Flüssigkeiten lassen sich kaum zusammendrücken. Drückst du auf eine Stelle, muss jede Stelle den Druck mittragen. Außerdem ist der Druck an einem Punkt in alle Richtungen gleich, denn ein winziger ruhender Flüssigkeitskeil muss an allen Seiten im Kräftegleichgewicht sein.
Hydraulische Hebebühne und hydraulische Bremse
Hydraulische Hebebühne: zwei Kolben, ein kleiner mit der Fläche a und ein großer mit der Fläche A, durch Öl verbunden. Eine Kraft f auf den kleinen Kolben erzeugt den Druck f/a. Nach dem Pascalschen Gesetz wirkt derselbe Druck auf den großen Kolben:
F = (f/a) × A = f × (A/a)
Wenn A/a = 50 ist, hebt ein Druck von 200 N eine Last von 10.000 N. Aber Energie gibt es nicht geschenkt: Das verschobene Ölvolumen ist gleich, also bewegt sich der kleine Kolben 50-mal weiter als der große. Arbeit hinein = Arbeit heraus.
Hydraulische Bremse: Das Pedal drückt einen kleinen Kolben im Hauptbremszylinder. Der Druck wandert durch das Bremsöl in den Leitungen zu allen Rädern. Dort drücken breitere Kolben die Bremsbeläge mit größerer Kraft an Scheibe oder Trommel. Alle Räder bekommen gleich viel Druck, deshalb bremst das Auto gleichmäßig.
Probier es aus: die Flasche mit drei Löchern
Mach drei kleine Löcher übereinander in eine Plastikflasche (lass dir von einem Erwachsenen mit einer heißen Nadel helfen). Fülle sie über dem Waschbecken mit Wasser. Schätze, welcher Strahl am weitesten spritzt, und schau dann nach. Über dem untersten Loch steht das meiste Wasser, also ist dort der Druck am größten. Bewege in der 3D-Szene (Schritt 6) den Tiefenregler von 1 m auf 10 m und prüfe, dass der Überdruck auf das Zehnfache wächst.
Wichtige Formeln und Definitionen
- P = F / A (Pa)
- P = P₀ + ρ g h
- Überdruck = P − P₀ = ρ g h
- Hydraulische Hebebühne: F = f × (A / a)
- Wege: d(klein) × a = d(groß) × A
- 1 atm = 1,013 × 10⁵ Pa = 76 cm Hg
Gelöste Beispiele
1. Ein 50 kg schweres Mädchen steht auf einem Absatz mit der Fläche 1 cm². Berechne den Druck auf den Boden. (g = 10 m/s²)
Schritt 1: F = mg = 50 × 10 = 500 N. Schritt 2: A = 1 cm² = 10⁻⁴ m². Schritt 3: P = F/A = 500/10⁻⁴. Antwort: 5 × 10⁶ Pa. Darum hinterlassen spitze Absätze Dellen im Boden.
2. Berechne den Überdruck 20 m unter der Oberfläche eines Sees. (ρ = 1000 kg/m³, g = 9.8 m/s²)
Schritt 1: Überdruck = ρgh. Schritt 2: = 1000 × 9.8 × 20. Antwort: 1,96 × 10⁵ Pa (etwa 2 atm zusätzlich).
3. Berechne den absoluten Druck in dieser Tiefe von 20 m. (P₀ = 1.01 × 10⁵ Pa)
Schritt 1: P = P₀ + ρgh. Schritt 2: = 1,01 × 10⁵ + 1,96 × 10⁵. Antwort: 2,97 × 10⁵ Pa, fast 3 atm.
4. Warum ist ein Quecksilberbarometer etwa 76 cm hoch, ein Wasserbarometer müsste aber etwa 10,3 m hoch sein?
Schritt 1: Die Säule muss ρgh = P₀ = 1,013 × 10⁵ Pa erfüllen. Schritt 2: Für Quecksilber ist h = 1,013 × 10⁵ / (13600 × 9.8) ≈ 0,76 m. Schritt 3: Für Wasser ist h = 1,013 × 10⁵ / (1000 × 9.8) ≈ 10,3 m. Antwort: Quecksilber ist 13,6-mal dichter, also ist seine Säule 13,6-mal kürzer.
5. Bei einer hydraulischen Hebebühne haben die Kolben die Radien 2 cm und 20 cm. Welche Kraft auf den kleinen Kolben hebt ein Auto von 1500 kg? (g = 10 m/s²)
Schritt 1: Gewichtskraft F = 1500 × 10 = 15000 N. Schritt 2: A/a = (20/2)² = 100. Schritt 3: f = F × a/A = 15000/100. Antwort: f = 150 N.
6. Bei derselben Hebebühne wird der kleine Kolben um 50 cm nach unten gedrückt. Wie weit steigt das Auto?
Schritt 1: Das Ölvolumen bleibt erhalten: d(klein) × a = d(groß) × A. Schritt 2: d(groß) = 50 cm × (a/A) = 50/100. Antwort: 0,5 cm. Die große Kraft kommt mit einem kleinen Weg; die Arbeit ist gleich (150 × 0.5 = 15000 × 0.005 = 75 J).
Häufige Fehler
- Zu denken, ein breiteres Gefäß gebe mehr Druck am Boden. Der Druck hängt nur von Tiefe, Dichte und g ab.
- Überdruck und absoluten Druck zu verwechseln. Überdruck = ρgh; absoluter Druck = P₀ + ρgh.
- Bei der Hebebühne das Radienverhältnis statt des Flächenverhältnisses zu benutzen. Die Fläche wächst mit r², also bedeutet ein 10-mal größerer Radius eine 100-mal größere Kraft.
- Zu denken, eine Hebebühne erzeuge Energie aus dem Nichts. Die Kraft wird größer, aber der Weg wird um denselben Faktor kürzer.