Магнитный поток: считаем линии поля через контур
Магнитный поток (Φ) показывает, сколько магнитного поля проходит через поверхность. Представьте, что это число линий поля, пронизывающих контур.
Φ = B S cos α. Здесь B — индукция поля, S — площадь контура, α — угол между B и нормалью (линией, перпендикулярной плоскости контура). Единица в СИ: вебер (Вб); 1 Вб = 1 Тл·м².
Поток наибольший, когда контур повёрнут к полю лицом (α = 0), и равен нулю, когда контур стоит ребром (α = 90°).
Законы индукции Фарадея
Майкл Фарадей и Джозеф Генри обнаружили, что меняющийся поток создаёт ЭДС. Постоянное поле, даже очень сильное, ничего не создаёт.
Первый закон
Всякий раз, когда поток через контур меняется, в нём возникает ЭДС. Если контур замкнут, течёт ток. Это длится только пока идёт изменение.
Второй закон
Величина индуцированной ЭДС равна скорости изменения потока: |ε| = N dΦ/dt для катушки из N витков.
Поток можно менять тремя способами: менять B (двигать магнит), менять S (растягивать контур или сдвигать его часть) или менять α (поворачивать контур).
ЭДС индукции и индукционный ток
ЭДС возникает даже в разомкнутой катушке. Ток течёт только в замкнутой цепи: I = ε / R.
Заряд, который протекает, зависит только от полного изменения потока, а не от скорости: q = N ΔΦ / R. Медленный и быстрый толчок переносят одинаковый заряд; быстрый делает это более сильным и коротким импульсом.
ЭДС в движущемся проводнике
Стержень длиной l скользит со скоростью v поперёк поля B (все три направления взаимно перпендикулярны) и каждую секунду заметает площадь l v. Поэтому ε = B l v. Это можно увидеть и так: магнитная сила qvB сдвигает свободные электроны к одному концу стержня.
Вихревые токи
Меняющийся поток через сплошную металлическую пластину создаёт внутри неё маленькие закрученные токи, их называют вихревыми токами. Они нагревают металл и тормозят движение. Их используют в индукционных плитах и тормозах поездов; в трансформаторах их уменьшают, делая сердечник из тонких изолированных пластин.
Правило Ленца: куда течёт ток
Правило Ленца: индукционный ток течёт в таком направлении, чтобы противодействовать изменению потока, которое его вызвало. Поэтому в законе Фарадея стоит знак минус: ε = −N dΦ/dt.
Северный полюс магнита приближается → ближний торец катушки становится северным (отталкивает магнит). Магнит удаляется → ближний торец становится южным (притягивает магнит назад).
Правило Ленца — это закон сохранения энергии. Вам приходится совершать работу против этой тормозящей силы, и эта работа превращается в электрическую энергию. Если бы ток помогал изменению, вы получали бы энергию даром, а это невозможно.
Для прямого движущегося стержня используйте правило правой руки: большой палец — движение, указательный — поле, средний — индукционный ток.
Самоиндукция и индуктивность (L)
Когда ток в катушке меняется, меняется и её собственный поток, поэтому ЭДС возникает в той же катушке. Это самоиндукция. Эта ЭДС противодействует изменению тока, поэтому её называют ЭДС самоиндукции (противо-ЭДС).
N Φ = L I и ε = −L dI/dt. L — это индуктивность; единица — генри (Гн). 1 Гн = 1 В·с/А.
Для длинного соленоида: L = μ₀ n² S l = μ₀ N² S / l. Если вставить внутрь железный сердечник, L умножается на μᵣ.
Катушка индуктивности ведёт себя как «инерция» для тока. Энергия, запасённая в её магнитном поле: U = ½ L I².
Взаимная индукция и взаимная индуктивность (M)
Когда ток в катушке 1 меняется, меняется поток через соседнюю катушку 2, и в катушке 2 возникает ЭДС. Это взаимная индукция.
N₂ Φ₂ = M I₁ и ε₂ = −M dI₁/dt. Для двух длинных соосных соленоидов (радиус внутреннего r₁, длина l): M = μ₀ n₁ n₂ π r₁² l. Кроме того, M₁₂ = M₂₁.
M больше, когда катушки близко, намотаны на один железный сердечник и имеют общую ось. Трансформаторы и беспроводные зарядки используют взаимную индукцию.
Попробуйте сами: практический опыт
Попробуйте: в 3D-сцене поставьте число витков N = 4 и вдвиньте магнит; запомните «Last kick» (последний толчок). Теперь поставьте N = 16 и двигайте с той же скоростью. Толчок примерно в 4 раза больше, потому что ε = −N dΦ/dt. Дома: маленький динамик или игрушечный моторчик, подключённый к светодиоду, может зажечь его, если быстро раскрутить вал моторчика. Вы запустили генератор.
Главные формулы и определения
- Φ = B S cos α (единица вебер, Вб)
- ε = −N dΦ/dt (Фарадей + Ленц)
- ЭДС в движущемся проводнике: ε = B l v
- Заряд, прошедший по цепи: q = N ΔΦ / R
- Вращающийся стержень (длина l, угловая скорость ω): ε = ½ B ω l²
- Самоиндукция: N Φ = L I, ε = −L dI/dt
- Соленоид: L = μ₀ N² S / l
- Взаимная индукция: ε₂ = −M dI₁/dt; M = μ₀ n₁ n₂ π r₁² l
- Энергия катушки: U = ½ L I²
Разобранные примеры
1. Контур площадью 0.02 м² лежит в поле 0.5 Тл. Найдите поток, когда (а) поле направлено вдоль нормали, (б) под углом 60° к нормали.
(а) Φ = BS cos 0 = 0.5 × 0.02 × 1 = 0.01 Вб. (б) Φ = 0.5 × 0.02 × cos 60° = 0.01 × 0.5 = 0.005 Вб.
2. Поток через катушку из 200 витков уменьшается с 4 мВб до 1 мВб за 0.1 с. Найдите среднюю ЭДС индукции.
ΔΦ = 1 − 4 = −3 мВб = −3 × 10⁻³ Вб. ε = −N ΔΦ/Δt = −200 × (−3 × 10⁻³)/0.1 = 6 В.
3. Стержень длиной 0.5 м движется со скоростью 4 м/с перпендикулярно полю 0.3 Тл. Стержень входит в цепь сопротивлением 2 Ом. Найдите ЭДС и ток.
ε = B l v = 0.3 × 0.5 × 4 = 0.6 В. I = ε / R = 0.6 / 2 = 0.3 А.
4. Ток в катушке с L = 50 мГн падает с 5 А до 0 за 10 мс. Найдите ЭДС самоиндукции.
ε = −L dI/dt = −0.05 × (0 − 5)/0.01 = +25 В. ЭДС старается поддержать ток (она противодействует его убыванию).
5. Найдите L воздушного соленоида с 500 витками, длиной 0.5 м и площадью сечения 4 × 10⁻⁴ м². (μ₀ = 4π × 10⁻⁷)
L = μ₀ N² S / l = 4π × 10⁻⁷ × 250000 × 4 × 10⁻⁴ / 0.5 = 4π × 10⁻⁷ × 200 ≈ 2.51 × 10⁻⁴ Гн ≈ 0.25 мГн.
6. У двух катушек M = 1.5 Гн. Ток в первой растёт от 0 до 20 А за 0.5 с. Найдите ЭДС во второй катушке и изменение потока через неё.
ε₂ = M dI₁/dt = 1.5 × 20 / 0.5 = 60 В. Изменение потокосцепления = M ΔI₁ = 1.5 × 20 = 30 Вб (витков).
7. Металлический стержень длиной 1 м вращается с угловой скоростью 20 рад/с вокруг одного конца в поле 0.2 Тл, направленном вдоль оси вращения. Найдите ЭДС между его концами.
ε = ½ B ω l² = 0.5 × 0.2 × 20 × 1² = 2 В.
8. У катушки из 100 витков сопротивлением 5 Ом поток изменили на 2 × 10⁻³ Вб. Какой заряд протечёт?
q = N ΔΦ / R = 100 × 2 × 10⁻³ / 5 = 0.04 Кл. Он не зависит от того, как быстро идёт изменение.
Частые ошибки
- Думать, что сильный неподвижный магнит рядом с катушкой создаёт ток. ЭДС индукции создаёт только ИЗМЕНЕНИЕ потока.
- Забывать умножать на N (число витков) в формуле ε = N dΦ/dt.
- Брать α как угол между B и плоскостью контура. В формуле Φ = BS cos α угол α отсчитывается от нормали к контуру.
- Говорить, что правило Ленца противодействует потоку. Оно противодействует ИЗМЕНЕНИЮ потока; если поток убывает, индукционный ток старается его поддержать.