Magnetischer Fluss: Feldlinien durch eine Schleife zählen
Der magnetische Fluss (Φ) sagt, wie viel Magnetfeld durch eine Fläche geht. Stell ihn dir als die Zahl der Feldlinien vor, die durch eine Schleife laufen.
Φ = B A cos θ. Dabei ist B das Feld, A die Fläche der Schleife und θ der Winkel zwischen B und der Normalen (der Linie, die senkrecht aus der Schleifenfläche zeigt). SI-Einheit: Weber (Wb); 1 Wb = 1 T m².
Der Fluss ist am größten, wenn die Schleife dem Feld zugewandt ist (θ = 0), und null, wenn sie genau von der Kante getroffen wird (θ = 90°).
Die Induktionsgesetze von Faraday
Michael Faraday und Joseph Henry fanden heraus, dass ein sich ändernder Fluss eine Spannung erzeugt. Ein gleichbleibendes Feld erzeugt nichts, egal wie stark es ist.
Erstes Gesetz
Ändert sich der Fluss durch einen Stromkreis, wird eine Spannung induziert. Ist der Stromkreis geschlossen, fließt ein Strom. Das dauert nur so lange, wie die Änderung dauert.
Zweites Gesetz
Die Größe der induzierten Spannung ist gleich der Änderungsrate des Flusses: |ε| = N dΦ/dt für eine Spule mit N Windungen.
Den Fluss kannst du auf drei Arten ändern: B ändern (einen Magneten bewegen), A ändern (die Schleife dehnen oder einen Teil verschieben) oder θ ändern (die Schleife drehen).
Induzierte Spannung und induzierter Strom
Die Spannung entsteht auch in einer offenen Spule. Strom fließt nur, wenn der Stromkreis geschlossen ist: I = ε / R.
Die Ladung, die fließt, hängt nur von der gesamten Flussänderung ab, nicht davon, wie schnell sie geschieht: q = N ΔΦ / R. Ein langsames und ein schnelles Hineinschieben schicken dieselbe Ladung; das schnelle schickt sie in einem größeren, kürzeren Stoß.
Bewegungsinduktion
Ein Stab der Länge l gleitet mit der Geschwindigkeit v durch ein Feld B (alle drei stehen senkrecht aufeinander) und überstreicht jede Sekunde die Fläche l v. Also gilt ε = B l v. Du kannst es auch so sehen: Die magnetische Kraft qvB drückt die freien Elektronen zu einem Ende des Stabs.
Wirbelströme
Ein sich ändernder Fluss durch eine massive Metallplatte erzeugt kleine kreisende Ströme in ihr, die Wirbelströme. Sie erhitzen das Metall und bremsen die Bewegung. Man nutzt sie in Induktionsherden und Zugbremsen; in Transformatoren werden sie mit dünnen, geschichteten Blechen klein gehalten.
Die Lenzsche Regel: in welche Richtung der Strom fließt
Lenzsche Regel: Der Induktionsstrom fließt in der Richtung, die der Änderung des Flusses, die ihn verursacht hat, entgegenwirkt. Deshalb hat das Faraday-Gesetz ein Minuszeichen: ε = −N dΦ/dt.
Nordpol des Magneten kommt hinein → die nahe Seite der Spule wird zum Nordpol (schiebt ihn zurück). Magnet geht hinaus → die nahe Seite wird zum Südpol (zieht ihn zurück).
Die Lenzsche Regel ist Energieerhaltung. Du musst Arbeit gegen diese bremsende Kraft leisten, und diese Arbeit wird zu elektrischer Energie. Würde der Strom die Änderung unterstützen, bekämst du Energie geschenkt, und das ist unmöglich.
Für einen geraden bewegten Stab nimmst du die Rechte-Hand-Regel: Daumen = Bewegung, Zeigefinger = Feld, Mittelfinger = Induktionsstrom.
Selbstinduktion und Selbstinduktivität (L)
Ändert sich der Strom in einer Spule, ändert sich ihr eigener Fluss, und es entsteht eine Spannung in derselben Spule. Das ist Selbstinduktion. Diese Spannung wirkt der Stromänderung entgegen, deshalb heißt sie auch Gegenspannung.
N Φ = L I und ε = −L dI/dt. L ist die Selbstinduktivität; Einheit Henry (H). 1 H = 1 V s/A.
Für eine lange Spule: L = μ₀ n² A l = μ₀ N² A / l. Ein Eisenkern im Inneren vervielfacht L mit μᵣ.
Eine Spule wirkt wie Trägheit für den Strom. Die Energie, die in ihrem Magnetfeld steckt: U = ½ L I².
Gegeninduktion und Gegeninduktivität (M)
Ändert sich der Strom in Spule 1, ändert sich der Fluss durch eine nahe Spule 2, und in Spule 2 entsteht eine Spannung. Das ist Gegeninduktion.
N₂ Φ₂ = M I₁ und ε₂ = −M dI₁/dt. Für zwei lange koaxiale Spulen (Innenradius r₁, Länge l): M = μ₀ n₁ n₂ π r₁² l. Außerdem gilt M₁₂ = M₂₁.
M ist größer, wenn die Spulen nah beieinander liegen, auf demselben Eisenkern sitzen und dieselbe Achse haben. Transformatoren und kabellose Ladegeräte nutzen Gegeninduktion.
Probier es aus: ein Versuch
Probier es aus: Stelle im 3D die Windungszahl N = 4 ein und ziehe den Magneten hinein; merke dir den "Last kick". Stelle jetzt N = 16 ein und ziehe gleich schnell. Der Ausschlag ist etwa 4-mal so groß, weil ε = −N dΦ/dt. Zu Hause: Ein kleiner Lautsprecher oder ein Spielzeugmotor, an eine LED angeschlossen, kann die LED zum Leuchten bringen, wenn du die Motorwelle schnell drehst. Du betreibst einen Generator.
Wichtige Formeln und Definitionen
- Φ = B A cos θ (Einheit Weber, Wb)
- ε = −N dΦ/dt (Faraday + Lenz)
- Bewegungsspannung: ε = B l v
- Ladung durch den Stromkreis: q = N ΔΦ / R
- Drehender Stab (Länge l, Winkelgeschwindigkeit ω): ε = ½ B ω l²
- Selbstinduktion: N Φ = L I, ε = −L dI/dt
- Spule: L = μ₀ N² A / l
- Gegeninduktion: ε₂ = −M dI₁/dt; M = μ₀ n₁ n₂ π r₁² l
- Energie in einer Spule: U = ½ L I²
Gelöste Beispiele
1. Eine Schleife mit der Fläche 0.02 m² liegt in einem Feld von 0.5 T. Berechne den Fluss, wenn (a) das Feld entlang der Normalen verläuft, (b) das Feld 60° zur Normalen hat.
(a) Φ = BA cos 0 = 0.5 × 0.02 × 1 = 0.01 Wb. (b) Φ = 0.5 × 0.02 × cos 60° = 0.01 × 0.5 = 0.005 Wb.
2. Der Fluss durch eine Spule mit 200 Windungen sinkt in 0.1 s von 4 mWb auf 1 mWb. Berechne die mittlere induzierte Spannung.
ΔΦ = 1 − 4 = −3 mWb = −3 × 10⁻³ Wb. ε = −N ΔΦ/Δt = −200 × (−3 × 10⁻³)/0.1 = 6 V.
3. Ein 0.5 m langer Stab bewegt sich mit 4 m/s senkrecht zu einem Feld von 0.3 T. Der Stab gehört zu einem Stromkreis mit dem Widerstand 2 Ω. Berechne die Spannung und den Strom.
ε = B l v = 0.3 × 0.5 × 4 = 0.6 V. I = ε / R = 0.6 / 2 = 0.3 A.
4. Der Strom in einer Spule mit L = 50 mH fällt in 10 ms von 5 A auf 0. Berechne die Selbstinduktionsspannung.
ε = −L dI/dt = −0.05 × (0 − 5)/0.01 = +25 V. Die Spannung will den Strom am Fließen halten (sie wirkt dem Abfall entgegen).
5. Berechne L einer Luftspule mit 500 Windungen, der Länge 0.5 m und der Fläche 4 × 10⁻⁴ m². (μ₀ = 4π × 10⁻⁷)
L = μ₀ N² A / l = 4π × 10⁻⁷ × 250000 × 4 × 10⁻⁴ / 0.5 = 4π × 10⁻⁷ × 200 ≈ 2.51 × 10⁻⁴ H ≈ 0.25 mH.
6. Zwei Spulen haben M = 1.5 H. Der Strom in der ersten steigt in 0.5 s von 0 auf 20 A. Berechne die Spannung in der zweiten Spule und die Flussänderung durch sie.
ε₂ = M dI₁/dt = 1.5 × 20 / 0.5 = 60 V. Änderung der Flussverkettung = M ΔI₁ = 1.5 × 20 = 30 Wb (Windungen).
7. Ein 1 m langer Metallstab dreht sich mit 20 rad/s um ein Ende in einem Feld von 0.2 T, das entlang seiner Drehachse verläuft. Berechne die Spannung zwischen seinen Enden.
ε = ½ B ω l² = 0.5 × 0.2 × 20 × 1² = 2 V.
8. Bei einer Spule mit 100 Windungen und dem Widerstand 5 Ω ändert sich der Fluss um 2 × 10⁻³ Wb. Wie viel Ladung fließt?
q = N ΔΦ / R = 100 × 2 × 10⁻³ / 5 = 0.04 C. Sie hängt nicht davon ab, wie schnell die Änderung geschieht.
Häufige Fehler
- Zu denken, ein starker ruhender Magnet neben einer Spule erzeuge Strom. Nur eine ÄNDERUNG des Flusses induziert eine Spannung.
- Zu vergessen, mit N (der Windungszahl) zu multiplizieren in ε = N dΦ/dt.
- θ als Winkel zwischen B und der Ebene der Schleife zu benutzen. In Φ = BA cos θ wird θ von der Normalen der Schleife aus gemessen.
- Zu sagen, die Lenzsche Regel wirke gegen den Fluss. Sie wirkt gegen die ÄNDERUNG des Flusses; sinkt der Fluss, versucht der Induktionsstrom, ihn aufrechtzuhalten.