Elektrische Ladung und ihre Erhaltung
Ladung ist eine Eigenschaft der Materie, durch die geladene Dinge andere Dinge abstoßen oder anziehen. Es gibt zwei Arten: positiv (+) und negativ (−). Gleiche Ladungen stoßen sich ab. Ungleiche Ladungen ziehen sich an.
Drei Grundtatsachen
- Additivität: Die Gesamtladung ist die einfache Summe mit Vorzeichen. +3 µC und −5 µC ergeben zusammen −2 µC.
- Erhaltung: In einem abgeschlossenen System ändert sich die Gesamtladung nie. Reiben, Berühren oder sogar Kernreaktionen verschieben oder paaren Ladungen nur; sie erzeugen nie Nettoladung.
- Quantelung: Jede Ladung ist ein ganzzahliges Vielfaches der Elektronenladung: q = ne, mit e = 1,6 × 10⁻¹⁹ C und n eine ganze Zahl.
Arten des Aufladens
Durch Reibung (Reiben verschiebt Elektronen), durch Leitung (Berühren teilt die Ladung) und durch Influenz (einen geladenen Stab in die Nähe bringen, die abgewandte Seite erden, die Erdung entfernen, dann den Stab: Der Körper behält die entgegengesetzte Ladung). In Leitern kann sich Ladung frei bewegen, in Isolatoren nicht.
Probier es aus: Reibe ein Plastiklineal an trockenem Haar und halte es neben einen dünnen Wasserstrahl aus dem Hahn. Der Strahl biegt sich zum Lineal hin – influenzierte Ladung wird angezogen.
Das Coulomb-Gesetz
Die Kraft zwischen zwei Punktladungen q₁ und q₂ im Abstand r im Vakuum ist
F = k q₁q₂ / r², mit k = 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻² und ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² C² N⁻¹ m⁻².
- Die Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der Ladungen.
- Es ist ein Gesetz mit dem Abstandsquadrat, genau wie bei der Gravitation – aber es kann abstoßen und anziehen, und zwischen zwei Protonen ist es etwa 10³⁶-mal stärker.
- In einem Stoff mit der Dielektrizitätskonstante K wird die Kraft zu F/K.
Vektorform: F₁₂ = k q₁q₂ r̂₂₁ / r², wobei r̂₂₁ von q₂ nach q₁ zeigt. Das dritte Newtonsche Gesetz gilt: F₁₂ = −F₂₁.
1 Coulomb ist die Ladung, die eine gleich große Ladung im Abstand 1 m im Vakuum mit 9 × 10⁹ N abstößt – eine riesige Kraft, deshalb liegen echte Laborladungen im Bereich µC oder nC.
Kräfte zwischen vielen Ladungen: das Superpositionsprinzip
Bei vielen Ladungen wirkt jedes Paar so, als wären die anderen nicht da. Die Gesamtkraft auf eine Ladung ist die Vektorsumme der Kräfte von allen anderen:
F₁ = F₁₂ + F₁₃ + F₁₄ + …
So rechnest du
- Zeichne jede Kraft als Pfeil (Abstoßung = weg, Anziehung = hin).
- Berechne jede Größe mit dem Coulomb-Gesetz.
- Zerlege in x- und y-Anteile, addiere jeden Anteil, und setze dann zusammen: F = √(Fx² + Fy²).
Symmetrie spart Zeit: Gleiche Ladungen an den Ecken eines Quadrats oder eines gleichseitigen Dreiecks ergeben in der Mitte die Gesamtkraft null.
Kontinuierliche Ladungsverteilung
Auf einem geladenen Stab, einer Platte oder einer Kugel ist die Ladung verteilt, deshalb benutzen wir Dichten:
- Linear λ = Ladung pro Länge (C/m) – ein Draht.
- Flächig σ = Ladung pro Fläche (C/m²) – eine Platte oder Schale.
- Räumlich ρ = Ladung pro Volumen (C/m³) – eine massive Kugel.
Wir zerschneiden den Körper in winzige Stücke dq = λdl, σdA oder ρdV, behandeln jedes als Punktladung und addieren (integrieren) ihre Felder: E = ∫ k dq r̂ / r². Das Gauß-Gesetz (unten) erspart dieses Integral, wenn die Form sehr symmetrisch ist.
Das elektrische Feld einer Punktladung
Das elektrische Feld an einem Punkt ist die Kraft auf eine winzige positive Probeladung q₀ an dieser Stelle, pro Ladungseinheit: E = F / q₀. Einheit: N/C (gleich V/m). Es ist ein Vektor.
Für eine Punktladung q gilt: E = kq / r², weg von + und hin zu −. Kennst du E, ist die Kraft auf jede Ladung q einfach F = qE.
Die Probeladung muss winzig sein, damit sie die Quellladungen nicht verschiebt. Das Feld vieler Ladungen addiert sich wieder als Vektoren.
Elektrische Feldlinien
Eine Feldlinie ist eine Kurve, deren Tangente an jedem Punkt die Richtung von E zeigt.
- Sie beginnen an + Ladungen und enden an − Ladungen (oder im Unendlichen).
- Sie kreuzen sich nie – an einer Kreuzung hätte E zwei Richtungen.
- Dichtere Linien = stärkeres Feld.
- In der Elektrostatik bilden sie keine geschlossenen Schleifen.
- Sie treffen die Oberfläche eines Leiters unter 90°.
Bilder: einzelnes + (Linien gerade nach außen), einzelnes − (Linien gerade nach innen), gleich große + und − (Linien biegen sich von + nach −), zwei gleiche + Ladungen (Linien drängen auseinander, in der Mitte liegt ein leerer neutraler Punkt) und ein homogenes Feld (parallele, gleichmäßig verteilte Linien).
Elektrischer Dipol und sein Feld
Ein elektrischer Dipol ist ein Paar +q und −q im kleinen Abstand 2a. Sein Dipolmoment ist p = q × 2a, ein Vektor von − nach +. Einheit: C m. Wassermoleküle sind natürliche Dipole.
Feld auf der Achse (in Längsrichtung)
Im Abstand r von der Mitte entlang der Achse: E = 2kpr / (r² − a²)², und für r ≫ a wird daraus E_axial = 2kp / r³, in Richtung von p.
Feld auf der Äquatorebene (von der Seite)
Auf der Mittelsenkrechten: E = kp / (r² + a²)^{3/2}, und für r ≫ a wird daraus E_äq = kp / r³, entgegen p.
Weit weg von einem Dipol fällt E also mit 1/r³, schneller als bei einer einzelnen Ladung (1/r²), weil sich + und − fast aufheben. Und E_axial = 2 × E_äq im gleichen Abstand.
Idee der Herleitung (axial)
Die + Ladung hat den Abstand r − a und die − Ladung den Abstand r + a. E = kq/(r − a)² − kq/(r + a)² = kq·4ar/(r² − a²)² = 2kpr/(r² − a²)².
Drehmoment auf einen Dipol im homogenen Feld
In einem homogenen Feld E spürt das +Ende die Kraft qE in Richtung E und das −Ende qE entgegengesetzt. Die Nettokraft ist 0, also wandert der Dipol nicht weg. Aber die beiden Kräfte liegen auf verschiedenen Linien, deshalb bilden sie ein Kräftepaar:
τ = (qE)(2a sinθ) = pE sinθ, oder in Vektorform τ = p × E.
- θ = 0°: τ = 0, stabil (p längs E).
- θ = 90°: τ = pE, das Maximum.
- θ = 180°: τ = 0, aber instabil.
In einem inhomogenen Feld sind die beiden Kräfte ungleich, also gibt es auch eine Nettokraft – deshalb zieht ein geladener Kamm neutrales Papier an (die influenzierten Dipole des Papiers liegen in einem inhomogenen Feld).
Elektrischer Fluss
Der elektrische Fluss durch eine Fläche misst, wie viele Feldlinien hindurchgehen:
Φ = E · A = EA cosθ, wobei θ der Winkel zwischen E und der nach außen zeigenden Normalen der Fläche ist. Einheit: N m² C⁻¹ (oder V m). Skalar.
- E senkrecht zur Fläche (θ = 0): Φ = EA, Maximum.
- E längs der Fläche (θ = 90°): Φ = 0.
- Austretende Linien zählen +, eintretende Linien zählen −.
Das Gauß-Gesetz und seine Anwendungen: Draht, ebene Platte, dünne Kugelschale
Gauß-Gesetz: Der gesamte Fluss aus einer geschlossenen Fläche ist gleich der eingeschlossenen Ladung geteilt durch ε₀: ∮E·dA = q_innen / ε₀. Ladungen außerhalb der Fläche liefern netto keinen Fluss (jede Linie, die hineingeht, kommt auch wieder heraus).
Vorgehen: Wähle eine geschlossene gedachte Fläche (eine Gauß-Fläche), auf der E überall gleich groß ist und entweder längs oder senkrecht zur Fläche steht.
1. Unendlich langer gerader Draht (Ladung λ pro Meter)
Zylinder mit Radius r und Länge l. Fluss nur durch die Mantelfläche: E(2πrl) = λl/ε₀ → E = λ / (2πε₀r), radial nach außen. E ∝ 1/r.
2. Unendliche ebene Platte (σ pro m²)
Kleiner Zylinder durch die Platte mit Endfläche A. Fluss durch beide Enden: 2EA = σA/ε₀ → E = σ / (2ε₀). In jedem Abstand gleich.
3. Dünne Kugelschale (Ladung q, Radius R)
Kugel mit Radius r. Außen (r > R): E(4πr²) = q/ε₀ → E = kq/r², als säße die ganze Ladung im Mittelpunkt. Innen (r < R): keine Ladung eingeschlossen → E = 0. An der Oberfläche: E = kq/R² = σ/ε₀.
Auch das Coulomb-Gesetz selbst folgt aus dem Gauß-Gesetz, angewendet auf eine Kugel um eine Punktladung.
Schwerpunkte für die Prüfung
Die Einheiten I und II zusammen bringen etwa 16 Punkte. Häufige Aufgaben: aufstellen und herleiten (axiales und äquatoriales Dipolfeld, Drehmoment auf einen Dipol, E von Draht, Platte und Schale mit dem Gauß-Gesetz), Feldlinienbilder zeichnen, eine Rechenaufgabe für 2–3 Punkte zur Coulomb-Kraft mit Superposition und eine Frage zum Fluss. Zeichne bei Herleitungen immer die Gauß-Fläche ein.
Wichtige Formeln und Definitionen
- q = ne, e = 1,6 × 10⁻¹⁹ C
- F = k q₁q₂ / r², k = 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻²
- F_ges = F₁ + F₂ + … (Vektorsumme)
- E = F / q₀; Punktladung E = kq / r²
- p = q × 2a; E_axial = 2kp/r³; E_äquatorial = kp/r³
- τ = p × E, τ = pE sinθ
- Φ = EA cosθ; ∮E·dA = q_innen/ε₀
- Draht E = λ/(2πε₀r); Platte E = σ/(2ε₀); Schale E = kq/r² (außen), 0 (innen)
Gelöste Beispiele
1. Wie viele Elektronen muss man von einem neutralen Körper entfernen, damit er +3,2 µC trägt?
n = q/e = 3,2 × 10⁻⁶ / 1,6 × 10⁻¹⁹ = 2 × 10¹³ Elektronen.
2. Zwei Ladungen +2 µC und −3 µC sind 30 cm voneinander entfernt in Luft. Berechne die Kraft.
F = 9 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶ × 3 × 10⁻⁶ / (0,3)² = 0,054/0,09 = 0,6 N, anziehend.
3. Die Kraft zwischen zwei Ladungen beträgt 16 N. Der Abstand wird verdoppelt und jede Ladung halbiert. Wie groß ist die neue Kraft?
F ∝ q₁q₂/r². Neu = 16 × (½ × ½) / 2² = 16 × ¼ / 4 = 1 N.
4. Die Ladungen +1 µC bei A und +4 µC bei B sind 3 m voneinander entfernt. Wo dazwischen ist die Gesamtkraft auf eine dritte Ladung null?
Der Punkt liege x von A entfernt. k(1)/x² = k(4)/(3 − x)² → (3 − x) = 2x → x = 1 m von A (der kleineren Ladung).
5. Drei Ladungen von je +2 µC sitzen an den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seite 10 cm. Berechne die Kraft auf eine von ihnen.
Jede Kraft = 9 × 10⁹ × (2 × 10⁻⁶)² / 0,01 = 3,6 N. Winkel zwischen den beiden Kräften = 60°. F = √(3,6² + 3,6² + 2 × 3,6² cos60°) = 3,6√3 ≈ 6,24 N, entlang der nach außen zeigenden Winkelhalbierenden.
6. Ein Dipol hat die Ladungen ±5 nC im Abstand 2 mm. Berechne p und das Feld in 10 cm Entfernung auf seiner Achse.
p = 5 × 10⁻⁹ × 2 × 10⁻³ = 10⁻¹¹ C m. E_axial = 2kp/r³ = 2 × 9 × 10⁹ × 10⁻¹¹ / 10⁻³ = 180 N/C, in Richtung von p.
7. Ein Dipol mit dem Moment 4 × 10⁻⁹ C m steht unter 30° zu einem homogenen Feld von 5 × 10⁴ N/C. Berechne das Drehmoment.
τ = pE sinθ = 4 × 10⁻⁹ × 5 × 10⁴ × 0,5 = 1 × 10⁻⁴ N m.
8. Ein Quadrat mit der Seite 10 cm liegt in einem homogenen Feld von 200 N/C. Das Feld bildet 60° mit der Normalen. Berechne den Fluss.
Φ = EA cosθ = 200 × 0,01 × 0,5 = 1 N m² C⁻¹.
9. Ein langer Draht trägt λ = 2 µC/m. Berechne E in 20 cm Abstand.
E = 2kλ/r = 2 × 9 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶ / 0,2 = 1,8 × 10⁵ N/C, radial nach außen.
10. Eine Kugelschale mit Radius 10 cm trägt +8 nC. Berechne E in 5 cm und in 20 cm Abstand vom Mittelpunkt.
Bei 5 cm (innen): E = 0. Bei 20 cm: E = 9 × 10⁹ × 8 × 10⁻⁹ / 0,04 = 1800 N/C.
Häufige Fehler
- Vergessen, µC in C (× 10⁻⁶) und cm in m umzurechnen, bevor man das Coulomb-Gesetz benutzt.
- Die Beträge der Kräfte mehrerer Ladungen einfach addieren, statt sie als Vektoren zu addieren.
- Glauben, der Fluss durch eine geschlossene Fläche hänge von Ladungen außerhalb ab – äußere Ladungen geben netto null Fluss (sie verändern aber sehr wohl E an Punkten der Fläche).
- Die Dipolformeln verwechseln: Das axiale Feld ist 2kp/r³, das äquatoriale kp/r³, und der Dipol zeigt von − nach +.