Carga eléctrica y su conservación
La carga es una propiedad de la materia que hace que empuje o atraiga a otras cosas cargadas. Hay dos clases: positiva (+) y negativa (−). Las cargas iguales se repelen. Las cargas distintas se atraen.
Tres hechos básicos
- Aditividad: la carga total es la suma simple, con signos. +3 µC y −5 µC juntas dan −2 µC.
- Conservación: en un sistema aislado la carga total nunca cambia. Frotar, tocar o incluso las reacciones nucleares solo mueven o emparejan cargas; nunca crean carga neta.
- Cuantización: toda carga es un número entero de cargas del electrón: q = ne, con e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C y n un entero.
Formas de cargar un cuerpo
Por fricción (al frotar se mueven electrones), por conducción (al tocar se reparte la carga) y por inducción (acercas una varilla cargada, conectas a tierra el lado lejano, quitas la tierra y luego la varilla: el objeto queda con la carga opuesta). Los conductores dejan que la carga se mueva libremente; los aislantes no.
Pruébalo: frota una regla de plástico en pelo seco y acércala a un chorrito fino de agua del grifo. El chorro se curva hacia la regla: es la carga inducida que se está atrayendo.
Ley de Coulomb
La fuerza entre dos cargas puntuales q₁ y q₂ separadas una distancia r en el vacío es
F = k q₁q₂ / r², con k = 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻² y ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² C² N⁻¹ m⁻².
- La fuerza actúa a lo largo de la línea que une las cargas.
- Es una ley del inverso del cuadrado, igual que la gravedad, pero puede repeler además de atraer y es unas 10³⁶ veces más fuerte entre dos protones.
- En un medio de constante dieléctrica K, la fuerza pasa a ser F/K.
Forma vectorial: F₁₂ = k q₁q₂ r̂₂₁ / r², donde r̂₂₁ apunta de q₂ hacia q₁. Se cumple la tercera ley de Newton: F₁₂ = −F₂₁.
1 coulomb (culombio) es la carga que, colocada a 1 m de otra igual en el vacío, la repele con 9 × 10⁹ N. Es una fuerza enorme, por eso las cargas reales de laboratorio son de µC o nC.
Fuerzas entre muchas cargas: el principio de superposición
Cuando hay muchas cargas, cada pareja actúa como si las demás no estuvieran. La fuerza neta sobre una carga es la suma vectorial de las fuerzas de todas las demás:
F₁ = F₁₂ + F₁₃ + F₁₄ + …
Cómo resolverlo
- Dibuja cada fuerza como una flecha (repulsión = se aleja, atracción = se acerca).
- Calcula el tamaño de cada una con la ley de Coulomb.
- Separa en partes x e y, suma cada parte y luego combina: F = √(Fx² + Fy²).
La simetría ahorra tiempo: cargas iguales en las esquinas de un cuadrado o de un triángulo equilátero dan fuerza neta cero en el centro.
Distribución continua de carga
En una varilla, una lámina o una bola cargadas, la carga está repartida, así que usamos densidades:
- Lineal λ = carga por longitud (C/m): un hilo.
- Superficial σ = carga por área (C/m²): una lámina o una cáscara.
- Volumétrica ρ = carga por volumen (C/m³): una bola maciza.
Cortamos el cuerpo en trocitos diminutos dq = λdl, σdA o ρdV, tratamos cada uno como una carga puntual y sumamos (integramos) sus campos: E = ∫ k dq r̂ / r². La ley de Gauss (más abajo) evita esta integral cuando la forma es muy simétrica.
Campo eléctrico de una carga puntual
El campo eléctrico en un punto es la fuerza sobre una pequeña carga de prueba positiva q₀ colocada allí, por cada unidad de carga: E = F / q₀. Unidad: N/C (igual que V/m). Es un vector.
Para una carga puntual q: E = kq / r², que apunta alejándose de las + y acercándose a las −. Cuando conoces E, la fuerza sobre cualquier carga q es simplemente F = qE.
La carga de prueba debe ser muy pequeña para no mover de su sitio a las cargas que crean el campo. El campo de varias cargas también se suma como vectores.
Líneas de campo eléctrico
Una línea de campo es una curva cuya tangente en cada punto muestra la dirección de E.
- Nacen en las cargas + y terminan en las cargas − (o en el infinito).
- Nunca se cruzan: en un cruce E tendría dos direcciones.
- Más juntas = campo más fuerte.
- No forman lazos cerrados en la electrostática.
- Llegan a la superficie de un conductor a 90°.
Dibujos típicos: una sola + (líneas rectas hacia fuera), una sola − (rectas hacia dentro), una + y una − iguales (las líneas se curvan de + a −), dos + iguales (las líneas se separan y queda un punto neutro vacío en medio) y un campo uniforme (líneas paralelas y a igual distancia).
Dipolo eléctrico y su campo
Un dipolo eléctrico es una pareja +q y −q separadas por una distancia pequeña 2a. Su momento dipolar es p = q × 2a, un vector que va de − a +. Unidad: C m. Las moléculas de agua son dipolos naturales.
Campo en el eje (de frente)
A una distancia r del centro, sobre el eje: E = 2kpr / (r² − a²)², que para r ≫ a se vuelve E_axial = 2kp / r³, en la dirección de p.
Campo en el plano ecuatorial (de lado)
Sobre la mediatriz: E = kp / (r² + a²)^{3/2}, que para r ≫ a se vuelve E_ec = kp / r³, en sentido opuesto a p.
Así, lejos de un dipolo E cae como 1/r³, más rápido que una sola carga (1/r²), porque la + y la − casi se anulan. Y E_axial = 2 × E_ec a la misma distancia.
Idea de la deducción (axial)
La carga + está a distancia r − a y la carga − a r + a. E = kq/(r − a)² − kq/(r + a)² = kq·4ar/(r² − a²)² = 2kpr/(r² − a²)².
Momento de giro sobre un dipolo en un campo uniforme
En un campo uniforme E, el extremo + siente qE a lo largo de E y el extremo − siente qE en sentido contrario. La fuerza neta es 0, así que el dipolo no se desplaza. Pero las dos fuerzas están en líneas distintas, y forman un par:
τ = (qE)(2a sinθ) = pE sinθ, o en forma vectorial τ = p × E.
- θ = 0°: τ = 0, equilibrio estable (p a lo largo de E).
- θ = 90°: τ = pE, el máximo.
- θ = 180°: τ = 0 pero inestable.
En un campo no uniforme las dos fuerzas son desiguales, así que además hay una fuerza neta: por eso un peine cargado atrae papel neutro (los dipolos inducidos en el papel están en un campo no uniforme).
Flujo eléctrico
El flujo eléctrico a través de una superficie mide cuántas líneas de campo la atraviesan:
Φ = E · A = EA cosθ, donde θ es el ángulo entre E y la normal saliente del área. Unidad: N m² C⁻¹ (o V m). Es un escalar.
- E perpendicular a la superficie (θ = 0): Φ = EA, el máximo.
- E paralelo a la superficie (θ = 90°): Φ = 0.
- Las líneas que salen cuentan +, las que entran cuentan −.
Ley de Gauss y sus usos: hilo, plano, cáscara esférica delgada
Ley de Gauss: el flujo total que sale de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada dividida entre ε₀: ∮E·dA = q_dentro / ε₀. Las cargas fuera de la superficie aportan flujo neto cero (cada línea que entra también sale).
Receta: elige una superficie cerrada imaginaria (una superficie gaussiana) en la que E tenga el mismo valor y sea paralelo o perpendicular a la superficie.
1. Hilo recto infinitamente largo (carga λ por metro)
Cilindro de radio r y largo l. El flujo solo pasa por el lado curvo: E(2πrl) = λl/ε₀ → E = λ / (2πε₀r), en dirección radial hacia fuera. E ∝ 1/r.
2. Plano infinito (σ por m²)
Cilindro pequeño que atraviesa el plano, con área de base A. Flujo por las dos bases: 2EA = σA/ε₀ → E = σ / (2ε₀). Es igual a cualquier distancia.
3. Cáscara esférica delgada (carga q, radio R)
Esfera de radio r. Fuera (r > R): E(4πr²) = q/ε₀ → E = kq/r², como si toda la carga estuviera en el centro. Dentro (r < R): no hay carga encerrada → E = 0. En la superficie: E = kq/R² = σ/ε₀.
La propia ley de Coulomb se deduce de la ley de Gauss aplicada a una esfera alrededor de una carga puntual.
Qué se pide en el examen
Las unidades I y II juntas valen unos 16 puntos. Lo más habitual: enunciar y deducir (campo axial y ecuatorial del dipolo, momento sobre un dipolo, E de hilo, plano y cáscara con la ley de Gauss), dibujar líneas de campo, un problema de 2 a 3 puntos de fuerza de Coulomb con superposición y una pregunta de flujo. En las deducciones dibuja siempre la superficie gaussiana.
Fórmulas y definiciones clave
- q = ne, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C
- F = k q₁q₂ / r², k = 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻²
- F_net = F₁ + F₂ + … (suma vectorial)
- E = F / q₀; carga puntual E = kq / r²
- p = q × 2a; E_axial = 2kp/r³; E_ecuatorial = kp/r³
- τ = p × E, τ = pE sinθ
- Φ = EA cosθ; ∮E·dA = q_dentro/ε₀
- Hilo E = λ/(2πε₀r); plano E = σ/(2ε₀); cáscara E = kq/r² (fuera), 0 (dentro)
Ejemplos resueltos
1. ¿Cuántos electrones hay que quitar a un cuerpo neutro para dejarlo con +3.2 µC?
n = q/e = 3.2 × 10⁻⁶ / 1.6 × 10⁻¹⁹ = 2 × 10¹³ electrones.
2. Dos cargas de +2 µC y −3 µC están a 30 cm una de otra en el aire. Calcula la fuerza.
F = 9 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶ × 3 × 10⁻⁶ / (0.3)² = 0.054/0.09 = 0.6 N, de atracción.
3. La fuerza entre dos cargas es 16 N. Se duplica la distancia y cada carga se reduce a la mitad. ¿Cuál es la nueva fuerza?
F ∝ q₁q₂/r². Nueva = 16 × (½ × ½) / 2² = 16 × ¼ / 4 = 1 N.
4. Hay +1 µC en A y +4 µC en B, a 3 m una de otra. ¿En qué punto entre ellas es cero la fuerza neta sobre una tercera carga?
Sea x la distancia a A. k(1)/x² = k(4)/(3 − x)² → (3 − x) = 2x → x = 1 m desde A (la carga más pequeña).
5. Tres cargas de +2 µC están en los vértices de un triángulo equilátero de 10 cm de lado. Calcula la fuerza sobre una de ellas.
Cada fuerza = 9 × 10⁹ × (2 × 10⁻⁶)² / 0.01 = 3.6 N. El ángulo entre las dos fuerzas = 60°. F = √(3.6² + 3.6² + 2 × 3.6² cos60°) = 3.6√3 ≈ 6.24 N, a lo largo de la bisectriz hacia fuera.
6. Un dipolo tiene cargas de ±5 nC separadas 2 mm. Calcula p y el campo a 10 cm sobre su eje.
p = 5 × 10⁻⁹ × 2 × 10⁻³ = 10⁻¹¹ C m. E_axial = 2kp/r³ = 2 × 9 × 10⁹ × 10⁻¹¹ / 10⁻³ = 180 N/C, en la dirección de p.
7. Un dipolo de momento 4 × 10⁻⁹ C m forma 30° con un campo uniforme de 5 × 10⁴ N/C. Calcula el momento de giro.
τ = pE sinθ = 4 × 10⁻⁹ × 5 × 10⁴ × 0.5 = 1 × 10⁻⁴ N m.
8. Un cuadrado de 10 cm de lado está en un campo uniforme de 200 N/C. El campo forma 60° con la normal. Calcula el flujo.
Φ = EA cosθ = 200 × 0.01 × 0.5 = 1 N m² C⁻¹.
9. Un hilo largo tiene λ = 2 µC/m. Calcula E a 20 cm.
E = 2kλ/r = 2 × 9 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶ / 0.2 = 1.8 × 10⁵ N/C, radialmente hacia fuera.
10. Una cáscara de 10 cm de radio tiene +8 nC. Calcula E a 5 cm y a 20 cm del centro.
A 5 cm (dentro): E = 0. A 20 cm: E = 9 × 10⁹ × 8 × 10⁻⁹ / 0.04 = 1800 N/C.
Errores comunes
- Olvidar pasar µC a C (× 10⁻⁶) y cm a m antes de usar la ley de Coulomb.
- Sumar los tamaños de las fuerzas de varias cargas en vez de sumarlas como vectores.
- Creer que el flujo a través de una superficie cerrada depende de las cargas de fuera: las cargas exteriores dan flujo neto cero (aunque sí cambian E en los puntos de la superficie).
- Confundir las fórmulas del dipolo: el campo axial es 2kp/r³, el ecuatorial es kp/r³, y la dirección del dipolo va de − a +.