La charge électrique et sa conservation
La charge est une propriété de la matière qui lui permet de repousser ou d'attirer d'autres objets chargés. Il y en a deux sortes : positive (+) et négative (−). Les charges de même signe se repoussent. Les charges de signes contraires s'attirent.
Trois faits de base
- Additivité : la charge totale est la simple somme avec les signes. +3 µC et −5 µC donnent ensemble −2 µC.
- Conservation : dans un système isolé, la charge totale ne change jamais. Frotter, toucher ou même les réactions nucléaires ne font que déplacer ou associer des charges ; elles ne créent jamais de charge nette.
- Quantification : toute charge est un nombre entier de charges d'électron : q = ne, avec e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C et n un entier.
Façons de charger un objet
Par frottement (frotter déplace des électrons), par contact (toucher partage la charge) et par influence (approche une tige chargée, relie la face éloignée à la terre, coupe la liaison avec la terre, puis éloigne la tige : l'objet garde la charge opposée). Les conducteurs laissent les charges circuler librement ; les isolants non.
À essayer : frotte une règle en plastique dans des cheveux secs et approche-la d'un mince filet d'eau du robinet. Le filet se courbe vers la règle : c'est la charge induite qui est attirée.
La loi de Coulomb
La force entre deux charges ponctuelles q₁ et q₂ séparées d'une distance r dans le vide est
F = k q₁q₂ / r², avec k = 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻² et ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² C² N⁻¹ m⁻².
- La force agit le long de la droite qui joint les charges.
- C'est une loi en inverse du carré, comme la gravitation, mais elle peut repousser autant qu'attirer, et elle est environ 10³⁶ fois plus forte entre deux protons.
- Dans un milieu de constante diélectrique K, la force devient F/K.
Forme vectorielle : F₁₂ = k q₁q₂ r̂₂₁ / r², où r̂₂₁ va de q₂ vers q₁. La troisième loi de Newton s'applique : F₁₂ = −F₂₁.
1 coulomb est la charge qui, placée à 1 m d'une charge égale dans le vide, la repousse avec 9 × 10⁹ N : c'est une force énorme, donc les charges réelles du laboratoire sont en µC ou en nC.
Forces entre plusieurs charges : le principe de superposition
Quand il y a beaucoup de charges, chaque paire agit comme si les autres n'existaient pas. La force totale sur une charge est la somme vectorielle des forces de toutes les autres :
F₁ = F₁₂ + F₁₃ + F₁₄ + …
Comment résoudre
- Dessine chaque force comme une flèche (répulsion = vers l'extérieur, attraction = vers la charge).
- Calcule chaque valeur avec la loi de Coulomb.
- Décompose en parties x et y, additionne chaque partie, puis recompose : F = √(Fx² + Fy²).
La symétrie fait gagner du temps : des charges égales aux coins d'un carré ou d'un triangle équilatéral donnent une force totale nulle au centre.
Distribution continue de charge
Sur une tige, une plaque ou une boule chargée, la charge est répartie, donc on utilise des densités :
- Linéique λ = charge par longueur (C/m) – un fil.
- Surfacique σ = charge par aire (C/m²) – un plan ou une coque.
- Volumique ρ = charge par volume (C/m³) – une boule pleine.
On découpe le corps en tout petits morceaux dq = λdl, σdA ou ρdV, on traite chacun comme une charge ponctuelle, et on additionne (on intègre) leurs champs : E = ∫ k dq r̂ / r². Le théorème de Gauss (plus bas) évite cette intégrale quand la forme est très symétrique.
Champ électrique d'une charge ponctuelle
Le champ électrique en un point est la force qui s'exerce sur une toute petite charge d'essai positive q₀ placée là, par unité de charge : E = F / q₀. Unité : N/C (identique à V/m). C'est un vecteur.
Pour une charge ponctuelle q : E = kq / r², dirigé vers l'extérieur d'un + et vers l'intérieur d'un −. Une fois que tu connais E, la force sur n'importe quelle charge q est simplement F = qE.
La charge d'essai doit être minuscule pour ne pas déplacer les charges sources. Le champ de plusieurs charges s'additionne là encore comme des vecteurs.
Lignes de champ électrique
Une ligne de champ est une courbe dont la tangente en chaque point indique la direction de E.
- Elles partent des charges + et arrivent sur les charges − (ou à l'infini).
- Elles ne se croisent jamais : à un croisement, E aurait deux directions.
- Lignes plus serrées = champ plus fort.
- Elles ne forment pas de boucles fermées en électrostatique.
- Elles arrivent sur la surface d'un conducteur à 90°.
Les images : un seul + (lignes droites vers l'extérieur), un seul − (lignes droites vers l'intérieur), un + et un − égaux (les lignes se courbent du + vers le −), deux charges + égales (les lignes se repoussent, avec un point neutre vide au milieu), et un champ uniforme (lignes parallèles et régulièrement espacées).
Le dipôle électrique et son champ
Un dipôle électrique est une paire +q et −q séparées par une petite distance 2a. Son moment dipolaire est p = q × 2a, un vecteur qui va du − vers le +. Unité : C m. Les molécules d'eau sont des dipôles naturels.
Champ sur l'axe (dans le prolongement)
À une distance r du centre le long de l'axe : E = 2kpr / (r² − a²)², qui pour r ≫ a devient E_axial = 2kp / r³, dans le sens de p.
Champ sur l'équateur (sur la médiatrice)
Sur la médiatrice : E = kp / (r² + a²)^{3/2}, qui pour r ≫ a devient E_éq = kp / r³, dans le sens opposé à p.
Donc loin d'un dipôle, E diminue en 1/r³, plus vite qu'une charge seule (1/r²), parce que le + et le − se compensent presque. Et E_axial = 2 × E_éq à la même distance.
Idée de la démonstration (axe)
La charge + est à la distance r − a et la charge − à r + a. E = kq/(r − a)² − kq/(r + a)² = kq·4ar/(r² − a²)² = 2kpr/(r² − a²)².
Couple sur un dipôle dans un champ uniforme
Dans un champ uniforme E, l'extrémité + subit qE dans le sens de E et l'extrémité − subit qE en sens opposé. La force totale est nulle, donc le dipôle ne part pas ailleurs. Mais les deux forces sont sur des droites différentes, elles forment donc un couple :
τ = (qE)(2a sinθ) = pE sinθ, ou sous forme vectorielle τ = p × E.
- θ = 0° : τ = 0, équilibre stable (p le long de E).
- θ = 90° : τ = pE, le maximum.
- θ = 180° : τ = 0 mais équilibre instable.
Dans un champ non uniforme, les deux forces sont inégales, il y a donc aussi une force totale : c'est pourquoi un peigne chargé attire du papier neutre (les dipôles induits du papier se trouvent dans un champ non uniforme).
Flux électrique
Le flux électrique à travers une surface mesure combien de lignes de champ la traversent :
Φ = E · A = EA cosθ, où θ est l'angle entre E et la normale sortante de la surface. Unité : N m² C⁻¹ (ou V m). Grandeur scalaire.
- E perpendiculaire à la surface (θ = 0) : Φ = EA, maximum.
- E le long de la surface (θ = 90°) : Φ = 0.
- Les lignes qui sortent comptent +, celles qui entrent comptent −.
Le théorème de Gauss et ses usages : fil, plan, fine coque sphérique
Théorème de Gauss : le flux total sortant de toute surface fermée est égal à la charge enfermée divisée par ε₀ : ∮E·dA = q_int / ε₀. Les charges à l'extérieur de la surface donnent un flux net nul (chaque ligne qui entre ressort aussi).
Méthode : choisis une surface fermée imaginaire (une surface de Gauss) sur laquelle E a la même valeur et est soit parallèle, soit perpendiculaire à la surface.
1. Fil droit infini (charge λ par mètre)
Cylindre de rayon r et de longueur l. Le flux ne passe que par le côté courbe : E(2πrl) = λl/ε₀ → E = λ / (2πε₀r), dirigé radialement vers l'extérieur. E ∝ 1/r.
2. Plan infini (σ par m²)
Petit cylindre qui traverse le plan, avec une aire de base A. Flux à travers les deux bases : 2EA = σA/ε₀ → E = σ / (2ε₀). Pareil à toutes les distances.
3. Fine coque sphérique (charge q, rayon R)
Sphère de rayon r. À l'extérieur (r > R) : E(4πr²) = q/ε₀ → E = kq/r², comme si toute la charge était au centre. À l'intérieur (r < R) : aucune charge enfermée → E = 0. À la surface : E = kq/R² = σ/ε₀.
La loi de Coulomb elle-même découle du théorème de Gauss appliqué à une sphère autour d'une charge ponctuelle.
À retenir pour l'examen
Les unités I et II ensemble valent environ 16 points. Questions fréquentes : énoncer et démontrer (champ axial/équatorial d'un dipôle, couple sur un dipôle, E d'un fil/plan/coque avec le théorème de Gauss), dessiner des lignes de champ, un exercice de 2–3 points sur la force de Coulomb avec superposition, et une question sur le flux. Dessine toujours la surface de Gauss dans les démonstrations.
Formules et définitions clés
- q = ne, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C
- F = k q₁q₂ / r², k = 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻²
- F_net = F₁ + F₂ + … (somme vectorielle)
- E = F / q₀ ; charge ponctuelle E = kq / r²
- p = q × 2a ; E_axial = 2kp/r³ ; E_équatorial = kp/r³
- τ = p × E, τ = pE sinθ
- Φ = EA cosθ ; ∮E·dA = q_int/ε₀
- Fil E = λ/(2πε₀r) ; plan E = σ/(2ε₀) ; coque E = kq/r² (extérieur), 0 (intérieur)
Exemples résolus
1. Combien d'électrons faut-il enlever à un corps neutre pour lui donner +3.2 µC ?
n = q/e = 3.2 × 10⁻⁶ / 1.6 × 10⁻¹⁹ = 2 × 10¹³ électrons.
2. Deux charges +2 µC et −3 µC sont à 30 cm l'une de l'autre dans l'air. Trouve la force.
F = 9 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶ × 3 × 10⁻⁶ / (0.3)² = 0.054/0.09 = 0.6 N, attractive.
3. La force entre deux charges est de 16 N. La distance est doublée et chaque charge est divisée par deux. Nouvelle force ?
F ∝ q₁q₂/r². Nouvelle = 16 × (½ × ½) / 2² = 16 × ¼ / 4 = 1 N.
4. Des charges +1 µC en A et +4 µC en B sont à 3 m l'une de l'autre. Où, entre elles, la force totale sur une troisième charge est-elle nulle ?
Soit x la distance du point à A. k(1)/x² = k(4)/(3 − x)² → (3 − x) = 2x → x = 1 m de A (la plus petite charge).
5. Trois charges de +2 µC chacune sont aux sommets d'un triangle équilatéral de côté 10 cm. Trouve la force sur l'une d'elles.
Chaque force = 9 × 10⁹ × (2 × 10⁻⁶)² / 0.01 = 3.6 N. Angle entre les deux forces = 60°. F = √(3.6² + 3.6² + 2 × 3.6² cos60°) = 3.6√3 ≈ 6.24 N, le long de la bissectrice vers l'extérieur.
6. Un dipôle a des charges ±5 nC, distantes de 2 mm. Trouve p et le champ à 10 cm sur son axe.
p = 5 × 10⁻⁹ × 2 × 10⁻³ = 10⁻¹¹ C m. E_axial = 2kp/r³ = 2 × 9 × 10⁹ × 10⁻¹¹ / 10⁻³ = 180 N/C, dans le sens de p.
7. Un dipôle de moment 4 × 10⁻⁹ C m fait 30° avec un champ uniforme de 5 × 10⁴ N/C. Trouve le couple.
τ = pE sinθ = 4 × 10⁻⁹ × 5 × 10⁴ × 0.5 = 1 × 10⁻⁴ N m.
8. Un carré de côté 10 cm est placé dans un champ uniforme de 200 N/C. Le champ fait 60° avec la normale. Trouve le flux.
Φ = EA cosθ = 200 × 0.01 × 0.5 = 1 N m² C⁻¹.
9. Un long fil porte λ = 2 µC/m. Trouve E à 20 cm.
E = 2kλ/r = 2 × 9 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶ / 0.2 = 1.8 × 10⁵ N/C, radialement vers l'extérieur.
10. Une coque de rayon 10 cm porte +8 nC. Trouve E à 5 cm et à 20 cm du centre.
À 5 cm (à l'intérieur) : E = 0. À 20 cm : E = 9 × 10⁹ × 8 × 10⁻⁹ / 0.04 = 1800 N/C.
Erreurs fréquentes
- Oublier de convertir les µC en C (× 10⁻⁶) et les cm en m avant d'utiliser la loi de Coulomb.
- Additionner les valeurs des forces de plusieurs charges au lieu de les additionner comme des vecteurs.
- Croire que le flux à travers une surface fermée dépend des charges extérieures : les charges extérieures donnent un flux net nul (mais elles changent bien E aux points de la surface).
- Mélanger les formules du dipôle : le champ axial vaut 2kp/r³, l'équatorial kp/r³, et la direction du dipôle va du − vers le +.