Carica elettrica e sua conservazione
La carica è una proprietà della materia che fa respingere o attrarre gli altri oggetti carichi. Ce ne sono due tipi: positiva (+) e negativa (−). Cariche dello stesso segno si respingono. Cariche di segno opposto si attraggono.
Tre fatti di base
- Additività: la carica totale è la semplice somma con i segni. +3 µC e −5 µC insieme fanno −2 µC.
- Conservazione: in un sistema isolato la carica totale non cambia mai. Strofinare, toccare o perfino le reazioni nucleari spostano o accoppiano solo le cariche; non creano mai carica netta.
- Quantizzazione: ogni carica è un numero intero di cariche dell'elettrone: q = ne, con e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C e n un numero intero.
Modi di caricare un corpo
Per strofinio (lo sfregamento sposta gli elettroni), per contatto (toccando, la carica si divide) e per induzione (avvicini una bacchetta carica, colleghi a terra il lato lontano, togli la terra, poi la bacchetta: l'oggetto resta con la carica opposta). I conduttori lasciano muovere la carica liberamente; gli isolanti no.
Provalo: strofina un righello di plastica sui capelli asciutti e avvicinalo a un filo sottile d'acqua del rubinetto. Il filo si piega verso il righello: è la carica indotta che viene attirata.
Legge di Coulomb
La forza tra due cariche puntiformi q₁ e q₂ a distanza r nel vuoto è
F = k q₁q₂ / r², con k = 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻² e ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² C² N⁻¹ m⁻².
- La forza agisce lungo la retta che unisce le cariche.
- È una legge dell'inverso del quadrato, proprio come la gravità – ma può respingere oltre che attrarre ed è circa 10³⁶ volte più forte tra due protoni.
- In un mezzo di costante dielettrica K, la forza diventa F/K.
Forma vettoriale: F₁₂ = k q₁q₂ r̂₂₁ / r², dove r̂₂₁ punta da q₂ verso q₁. Vale il terzo principio di Newton: F₁₂ = −F₂₁.
1 coulomb è la carica che, messa a 1 m da una carica uguale nel vuoto, la respinge con 9 × 10⁹ N – una forza enorme, perciò le cariche reali in laboratorio sono in µC o nC.
Forze tra molte cariche: il principio di sovrapposizione
Quando ci sono molte cariche, ogni coppia agisce come se le altre non ci fossero. La forza netta su una carica è la somma vettoriale delle forze di tutte le altre:
F₁ = F₁₂ + F₁₃ + F₁₄ + …
Come risolvere
- Disegna ogni forza come una freccia (repulsione = verso l'esterno, attrazione = verso l'altra carica).
- Trova il valore di ciascuna con la legge di Coulomb.
- Scomponi in parti x e y, somma ogni parte, poi ricomponi: F = √(Fx² + Fy²).
La simmetria fa risparmiare tempo: cariche uguali ai vertici di un quadrato o di un triangolo equilatero danno forza netta zero al centro.
Distribuzione continua di carica
Su un'asta, un piano o una sfera carichi la carica è distribuita, quindi usiamo le densità:
- Lineare λ = carica per lunghezza (C/m) – un filo.
- Superficiale σ = carica per area (C/m²) – un piano o un guscio.
- Volumetrica ρ = carica per volume (C/m³) – una sfera piena.
Tagliamo il corpo in pezzettini minuscoli dq = λdl, σdA o ρdV, trattiamo ciascuno come una carica puntiforme e sommiamo (integriamo) i loro campi: E = ∫ k dq r̂ / r². La legge di Gauss (sotto) evita questo integrale quando la forma è molto simmetrica.
Campo elettrico di una carica puntiforme
Il campo elettrico in un punto è la forza su una piccola carica di prova positiva q₀ messa lì, per unità di carica: E = F / q₀. Unità: N/C (uguale a V/m). È un vettore.
Per una carica puntiforme q: E = kq / r², diretto verso l'esterno da + e verso l'interno per −. Quando conosci E, la forza su qualsiasi carica q è semplicemente F = qE.
La carica di prova deve essere piccolissima, così non sposta le cariche sorgenti. Anche il campo di molte cariche si somma come vettore.
Linee di campo elettrico
Una linea di campo è una curva la cui tangente in ogni punto indica la direzione di E.
- Partono dalle cariche + e finiscono sulle cariche − (o all'infinito).
- Non si incrociano mai – in un incrocio E avrebbe due direzioni.
- Linee più vicine = campo più forte.
- In elettrostatica non formano anelli chiusi.
- Incontrano la superficie di un conduttore a 90°.
Immagini: un solo + (linee dritte verso l'esterno), un solo − (linee dritte verso l'interno), + e − uguali (le linee si curvano da + a −), due cariche + uguali (le linee si spingono via con un punto neutro vuoto in mezzo) e un campo uniforme (linee parallele a distanza costante).
Dipolo elettrico e suo campo
Un dipolo elettrico è una coppia +q e −q separate da una piccola distanza 2a. Il suo momento di dipolo è p = q × 2a, un vettore che va da − a +. Unità: C m. Le molecole d'acqua sono dipoli naturali.
Campo sull'asse (in linea)
A distanza r dal centro lungo l'asse: E = 2kpr / (r² − a²)², che per r ≫ a diventa E_assiale = 2kp / r³, lungo p.
Campo sull'equatore (di fianco)
Sull'asse perpendicolare al centro: E = kp / (r² + a²)^{3/2}, che per r ≫ a diventa E_eq = kp / r³, opposto a p.
Quindi lontano da un dipolo E cala come 1/r³, più in fretta di una carica singola (1/r²), perché + e − quasi si annullano. E E_assiale = 2 × E_eq alla stessa distanza.
Idea della dimostrazione (assiale)
La carica + è a distanza r − a e la carica − a distanza r + a. E = kq/(r − a)² − kq/(r + a)² = kq·4ar/(r² − a²)² = 2kpr/(r² − a²)².
Momento torcente su un dipolo in un campo uniforme
In un campo uniforme E, l'estremità + sente qE lungo E e l'estremità − sente qE in verso opposto. Forza netta = 0, quindi il dipolo non si sposta. Ma le due forze stanno su rette diverse, quindi formano una coppia:
τ = (qE)(2a sinθ) = pE sinθ, oppure in forma vettoriale τ = p × E.
- θ = 0°: τ = 0, equilibrio stabile (p lungo E).
- θ = 90°: τ = pE, il massimo.
- θ = 180°: τ = 0 ma instabile.
In un campo non uniforme le due forze sono diverse, quindi c'è anche una forza netta – per questo un pettine carico attira la carta neutra (i dipoli indotti nella carta sono in un campo non uniforme).
Flusso elettrico
Il flusso elettrico attraverso una superficie misura quante linee di campo la attraversano:
Φ = E · A = EA cosθ, dove θ è l'angolo tra E e la normale uscente dell'area. Unità: N m² C⁻¹ (o V m). Scalare.
- E perpendicolare alla superficie (θ = 0): Φ = EA, massimo.
- E lungo la superficie (θ = 90°): Φ = 0.
- Le linee che escono contano +, quelle che entrano contano −.
Legge di Gauss e sue applicazioni: filo, piano, guscio sferico sottile
Legge di Gauss: il flusso totale uscente da qualsiasi superficie chiusa è uguale alla carica racchiusa divisa per ε₀: ∮E·dA = q_int / ε₀. Le cariche fuori dalla superficie danno flusso netto zero (ogni linea che entra esce anche).
Ricetta: scegli una superficie chiusa immaginaria (una superficie gaussiana) su cui E ha lo stesso valore ed è lungo oppure perpendicolare alla superficie.
1. Filo rettilineo infinitamente lungo (carica λ per metro)
Cilindro di raggio r, lunghezza l. Il flusso passa solo dal lato curvo: E(2πrl) = λl/ε₀ → E = λ / (2πε₀r), diretto radialmente verso l'esterno. E ∝ 1/r.
2. Piano infinito (σ per m²)
Piccolo cilindro che attraversa il piano con area di base A. Flusso attraverso le due basi: 2EA = σA/ε₀ → E = σ / (2ε₀). Uguale a ogni distanza.
3. Guscio sferico sottile (carica q, raggio R)
Sfera di raggio r. Fuori (r > R): E(4πr²) = q/ε₀ → E = kq/r², come se tutta la carica fosse al centro. Dentro (r < R): nessuna carica racchiusa → E = 0. Sulla superficie: E = kq/R² = σ/ε₀.
La stessa legge di Coulomb segue dalla legge di Gauss applicata a una sfera intorno a una carica puntiforme.
Cosa serve per l'esame
Le Unità I e II insieme valgono circa 16 punti. Richieste comuni: enuncia e dimostra (campo assiale/equatoriale del dipolo, momento torcente su un dipolo, E di filo/piano/guscio con la legge di Gauss), disegna le linee di campo, un esercizio da 2–3 punti sulla forza di Coulomb con sovrapposizione e una domanda sul flusso. Disegna sempre la superficie gaussiana nelle dimostrazioni.
Formule e definizioni chiave
- q = ne, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C
- F = k q₁q₂ / r², k = 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻²
- F_tot = F₁ + F₂ + … (somma vettoriale)
- E = F / q₀; carica puntiforme E = kq / r²
- p = q × 2a; E_assiale = 2kp/r³; E_equatoriale = kp/r³
- τ = p × E, τ = pE sinθ
- Φ = EA cosθ; ∮E·dA = q_int/ε₀
- Filo E = λ/(2πε₀r); piano E = σ/(2ε₀); guscio E = kq/r² (fuori), 0 (dentro)
Esempi svolti
1. Quanti elettroni bisogna togliere a un corpo neutro per dargli +3.2 µC?
n = q/e = 3.2 × 10⁻⁶ / 1.6 × 10⁻¹⁹ = 2 × 10¹³ elettroni.
2. Due cariche +2 µC e −3 µC sono a 30 cm di distanza in aria. Trova la forza.
F = 9 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶ × 3 × 10⁻⁶ / (0.3)² = 0.054/0.09 = 0.6 N, attrattiva.
3. La forza tra due cariche è 16 N. La distanza viene raddoppiata e ogni carica dimezzata. Qual è la nuova forza?
F ∝ q₁q₂/r². Nuova = 16 × (½ × ½) / 2² = 16 × ¼ / 4 = 1 N.
4. Cariche +1 µC in A e +4 µC in B sono a 3 m di distanza. In quale punto tra loro la forza netta su una terza carica è zero?
Sia x la distanza da A. k(1)/x² = k(4)/(3 − x)² → (3 − x) = 2x → x = 1 m da A (la carica più piccola).
5. Tre cariche di +2 µC ciascuna stanno ai vertici di un triangolo equilatero di lato 10 cm. Trova la forza su una di esse.
Ogni forza = 9 × 10⁹ × (2 × 10⁻⁶)² / 0.01 = 3.6 N. Angolo tra le due forze = 60°. F = √(3.6² + 3.6² + 2 × 3.6² cos60°) = 3.6√3 ≈ 6.24 N, lungo la bisettrice verso l'esterno.
6. Un dipolo ha cariche ±5 nC, a 2 mm di distanza. Trova p e il campo a 10 cm sul suo asse.
p = 5 × 10⁻⁹ × 2 × 10⁻³ = 10⁻¹¹ C m. E_assiale = 2kp/r³ = 2 × 9 × 10⁹ × 10⁻¹¹ / 10⁻³ = 180 N/C, lungo p.
7. Un dipolo di momento 4 × 10⁻⁹ C m forma 30° con un campo uniforme di 5 × 10⁴ N/C. Trova il momento torcente.
τ = pE sinθ = 4 × 10⁻⁹ × 5 × 10⁴ × 0.5 = 1 × 10⁻⁴ N m.
8. Un quadrato di lato 10 cm sta in un campo uniforme di 200 N/C. Il campo forma 60° con la normale. Trova il flusso.
Φ = EA cosθ = 200 × 0.01 × 0.5 = 1 N m² C⁻¹.
9. Un filo lungo porta λ = 2 µC/m. Trova E a 20 cm.
E = 2kλ/r = 2 × 9 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶ / 0.2 = 1.8 × 10⁵ N/C, radialmente verso l'esterno.
10. Un guscio di raggio 10 cm ha +8 nC. Trova E a 5 cm e a 20 cm dal centro.
A 5 cm (dentro): E = 0. A 20 cm: E = 9 × 10⁹ × 8 × 10⁻⁹ / 0.04 = 1800 N/C.
Errori comuni
- Dimenticare di convertire µC in C (× 10⁻⁶) e cm in m prima di usare la legge di Coulomb.
- Sommare i valori delle forze di molte cariche invece di sommarle come vettori.
- Pensare che il flusso attraverso una superficie chiusa dipenda dalle cariche esterne – le cariche esterne danno flusso netto zero (ma cambiano E nei punti della superficie).
- Confondere le formule del dipolo: il campo assiale è 2kp/r³, quello equatoriale è kp/r³, e la direzione del dipolo va da − a +.