Flux magnétique : compter les lignes de champ à travers une boucle
Le flux magnétique (Φ) indique quelle quantité de champ magnétique traverse une surface. Imagine-le comme le nombre de lignes de champ qui passent à travers une boucle.
Φ = B A cos θ. Ici B est le champ, A est l'aire de la boucle et θ est l'angle entre B et la normale (la droite qui sort perpendiculairement de la face de la boucle). Unité SI : weber (Wb) ; 1 Wb = 1 T m².
Le flux est maximal quand la boucle fait face au champ (θ = 0) et nul quand la boucle est vue par la tranche (θ = 90°).
Les lois de Faraday sur l'induction
Michael Faraday et Joseph Henry ont découvert qu'un flux qui change crée une fem. Un champ constant, même très fort, ne crée rien.
Première loi
Chaque fois que le flux à travers un circuit change, une fem est induite. Si le circuit est fermé, un courant circule. Cela dure seulement tant que le changement dure.
Deuxième loi
La valeur de la fem induite est égale à la vitesse de variation du flux : |ε| = N dΦ/dt pour une bobine de N spires.
Tu peux changer le flux de trois façons : changer B (déplacer un aimant), changer A (étirer ou faire glisser une partie de la boucle) ou changer θ (faire tourner la boucle).
Fem induite et courant induit
La fem apparaît même dans une bobine ouverte. Le courant ne circule que si le circuit est fermé : I = ε / R.
La charge qui circule dépend seulement de la variation totale du flux, pas de la vitesse : q = N ΔΦ / R. Une poussée lente et une poussée rapide envoient la même charge ; la rapide l'envoie en une impulsion plus forte et plus courte.
Fem motionnelle
Une tige de longueur l qui glisse à la vitesse v dans un champ B (les trois directions à angle droit) balaie une aire l v chaque seconde. Donc ε = B l v. On peut aussi le voir ainsi : la force magnétique qvB pousse les électrons libres vers une extrémité de la tige.
Courants de Foucault
Un flux qui varie à travers une plaque de métal pleine crée de petits courants tourbillonnants à l'intérieur, appelés courants de Foucault (ou courants de Foucault, eddy currents en anglais). Ils chauffent le métal et s'opposent au mouvement. On les utilise dans les plaques à induction et les freins de trains ; on les réduit dans les transformateurs avec des tôles fines feuilletées.
Loi de Lenz : dans quel sens circule le courant
Loi de Lenz : le courant induit circule dans le sens qui s'oppose à la variation de flux qui l'a causé. C'est pour cela que la loi de Faraday a un signe moins : ε = −N dΦ/dt.
Un pôle nord d'aimant qui s'approche → la face proche de la bobine devient N (elle le repousse). L'aimant qui s'éloigne → la face proche devient S (elle le retient).
La loi de Lenz, c'est la conservation de l'énergie. Tu dois fournir un travail contre cette force qui s'oppose, et ce travail devient de l'énergie électrique. Si le courant aidait le changement, tu aurais de l'énergie gratuite, ce qui est impossible.
Pour une tige droite en mouvement, utilise la règle de la main droite de Fleming : pouce = mouvement, index = champ, majeur = courant induit.
Auto-induction et inductance propre (L)
Quand le courant dans une bobine change, son propre flux change, donc une fem apparaît dans la même bobine. C'est l'auto-induction. Cette fem s'oppose à la variation du courant, on l'appelle donc force contre-électromotrice.
N Φ = L I et ε = −L dI/dt. L est l'inductance propre ; unité : le henry (H). 1 H = 1 V s/A.
Pour un long solénoïde : L = μ₀ n² A l = μ₀ N² A / l. Mettre un noyau de fer à l'intérieur multiplie L par μᵣ.
Une bobine se comporte comme l'inertie du courant. Énergie stockée dans son champ magnétique : U = ½ L I².
Induction mutuelle et inductance mutuelle (M)
Quand le courant dans la bobine 1 change, le flux à travers une bobine 2 voisine change, et une fem apparaît dans la bobine 2. C'est l'induction mutuelle.
N₂ Φ₂ = M I₁ et ε₂ = −M dI₁/dt. Pour deux longs solénoïdes coaxiaux (rayon intérieur r₁, longueur l) : M = μ₀ n₁ n₂ π r₁² l. De plus M₁₂ = M₂₁.
M est plus grand quand les bobines sont proches, enroulées sur le même noyau de fer et sur le même axe. Les transformateurs et les chargeurs sans fil utilisent l'induction mutuelle.
À toi de jouer : une manip
Essaie : dans la 3D, règle le nombre de spires N = 4 et fais glisser l'aimant dedans ; note le « Last kick ». Ensuite règle N = 16 et fais glisser à la même vitesse. Le coup est environ 4 fois plus grand, parce que ε = −N dΦ/dt. À la maison : un petit haut-parleur ou un moteur de jouet relié à une LED peut allumer la LED si tu fais tourner l'axe du moteur très vite. Tu fais fonctionner un générateur.
Formules et définitions clés
- Φ = B A cos θ (unité : weber, Wb)
- ε = −N dΦ/dt (Faraday + Lenz)
- Fem motionnelle : ε = B l v
- Charge dans le circuit : q = N ΔΦ / R
- Tige qui tourne (longueur l, vitesse angulaire ω) : ε = ½ B ω l²
- Auto-induction : N Φ = L I, ε = −L dI/dt
- Solénoïde : L = μ₀ N² A / l
- Induction mutuelle : ε₂ = −M dI₁/dt ; M = μ₀ n₁ n₂ π r₁² l
- Énergie dans une bobine : U = ½ L I²
Exemples résolus
1. Une boucle d'aire 0.02 m² est placée dans un champ de 0.5 T. Trouve le flux quand (a) le champ est le long de la normale, (b) le champ fait 60° avec la normale.
(a) Φ = BA cos 0 = 0.5 × 0.02 × 1 = 0.01 Wb. (b) Φ = 0.5 × 0.02 × cos 60° = 0.01 × 0.5 = 0.005 Wb.
2. Le flux à travers une bobine de 200 spires passe de 4 mWb à 1 mWb en 0.1 s. Trouve la fem induite moyenne.
ΔΦ = 1 − 4 = −3 mWb = −3 × 10⁻³ Wb. ε = −N ΔΦ/Δt = −200 × (−3 × 10⁻³)/0.1 = 6 V.
3. Une tige de 0.5 m se déplace à 4 m/s à angle droit d'un champ de 0.3 T. La tige fait partie d'un circuit de résistance 2 Ω. Trouve la fem et le courant.
ε = B l v = 0.3 × 0.5 × 4 = 0.6 V. I = ε / R = 0.6 / 2 = 0.3 A.
4. Le courant dans une bobine de L = 50 mH passe de 5 A à 0 en 10 ms. Trouve la fem d'auto-induction.
ε = −L dI/dt = −0.05 × (0 − 5)/0.01 = +25 V. La fem essaie de maintenir le courant (elle s'oppose à sa chute).
5. Trouve L d'un solénoïde à noyau d'air de 500 spires, de longueur 0.5 m et d'aire 4 × 10⁻⁴ m². (μ₀ = 4π × 10⁻⁷)
L = μ₀ N² A / l = 4π × 10⁻⁷ × 250000 × 4 × 10⁻⁴ / 0.5 = 4π × 10⁻⁷ × 200 ≈ 2.51 × 10⁻⁴ H ≈ 0.25 mH.
6. Deux bobines ont M = 1.5 H. Le courant dans la première passe de 0 à 20 A en 0.5 s. Trouve la fem dans la seconde bobine et la variation de flux à travers elle.
ε₂ = M dI₁/dt = 1.5 × 20 / 0.5 = 60 V. Variation du flux total = M ΔI₁ = 1.5 × 20 = 30 Wb (spires).
7. Une tige métallique de 1 m tourne à 20 rad/s autour d'une extrémité dans un champ de 0.2 T dirigé selon son axe de rotation. Trouve la fem entre ses extrémités.
ε = ½ B ω l² = 0.5 × 0.2 × 20 × 1² = 2 V.
8. Le flux d'une bobine de 100 spires et de résistance 5 Ω varie de 2 × 10⁻³ Wb. Quelle charge circule ?
q = N ΔΦ / R = 100 × 2 × 10⁻³ / 5 = 0.04 C. Elle ne dépend pas de la rapidité du changement.
Erreurs fréquentes
- Croire qu'un aimant fort et immobile près d'une bobine crée du courant. Seul un CHANGEMENT de flux induit une fem.
- Oublier de multiplier par N (nombre de spires) dans ε = N dΦ/dt.
- Prendre θ comme l'angle entre B et le plan de la boucle. Dans Φ = BA cos θ, θ se mesure depuis la normale à la boucle.
- Dire que la loi de Lenz s'oppose au flux. Elle s'oppose à la VARIATION du flux ; si le flux diminue, le courant induit essaie de le maintenir.