Электрический заряд и закон его сохранения
Заряд — это свойство вещества, из-за которого заряженные тела отталкивают или притягивают друг друга. Заряды бывают двух видов: положительные (+) и отрицательные (−). Одноимённые заряды отталкиваются. Разноимённые притягиваются.
Три основных факта
- Аддитивность: общий заряд — это обычная сумма с учётом знаков. +3 µC и −5 µC вместе дают −2 µC.
- Сохранение: в изолированной системе общий заряд не меняется. Трение, касание и даже ядерные реакции лишь перемещают или объединяют заряды в пары, но не создают итоговый заряд.
- Квантование: любой заряд равен целому числу электронных зарядов: q = ne, где e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C, а n — целое число.
Способы электризации
Через трение (трение переносит электроны), через контакт (при касании заряд делится) и через индукцию (поднесите заряженную палочку, заземлите дальнюю сторону, уберите заземление, потом палочку: тело сохранит противоположный заряд). В проводниках заряд свободно движется, в изоляторах — нет.
Попробуйте: потрите пластиковую линейку о сухие волосы и поднесите к тонкой струйке воды из крана. Струйка отклонится к линейке: её индуцированный заряд притягивается.
Закон Кулона
Сила между двумя точечными зарядами q₁ и q₂ на расстоянии r в вакууме равна
F = k q₁q₂ / r², где k = 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻², а ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² C² N⁻¹ m⁻².
- Сила направлена вдоль прямой, соединяющей заряды.
- Это закон обратных квадратов, как у гравитации, но электрическая сила может и отталкивать, и притягивать, а между двумя протонами она примерно в 10³⁶ раз больше гравитационной.
- В среде с диэлектрической проницаемостью K сила становится F/K.
Векторная форма: F₁₂ = k q₁q₂ r̂₂₁ / r², где r̂₂₁ направлен от q₂ к q₁. Третий закон Ньютона выполняется: F₁₂ = −F₂₁.
1 кулон — это заряд, который, помещённый на расстоянии 1 м от такого же заряда в вакууме, отталкивает его с силой 9 × 10⁹ N. Это огромная сила, поэтому в лаборатории заряды измеряют в µC или nC.
Силы между многими зарядами: принцип суперпозиции
Когда зарядов много, каждая пара действует так, будто остальных нет. Результирующая сила на один заряд — это векторная сумма сил от всех остальных:
F₁ = F₁₂ + F₁₃ + F₁₄ + …
Как решать
- Нарисуйте каждую силу стрелкой (отталкивание — от заряда, притяжение — к заряду).
- Найдите величину каждой по закону Кулона.
- Разложите на части по x и y, сложите части по каждой оси, затем объедините: F = √(Fx² + Fy²).
Симметрия экономит время: одинаковые заряды в углах квадрата или равностороннего треугольника дают нулевую силу в центре.
Непрерывное распределение заряда
На заряженном стержне, листе или шаре заряд распределён по всему телу, поэтому используют плотности:
- Линейная λ = заряд на длину (C/m) — для нити.
- Поверхностная σ = заряд на площадь (C/m²) — для плоскости или оболочки.
- Объёмная ρ = заряд на объём (C/m³) — для сплошного шара.
Мы разрезаем тело на крошечные кусочки dq = λdl, σdA или ρdV, считаем каждый точечным зарядом и складываем (интегрируем) их поля: E = ∫ k dq r̂ / r². Теорема Гаусса (ниже) позволяет обойтись без интеграла, если форма очень симметрична.
Электрическое поле точечного заряда
Электрическое поле в точке — это сила, действующая на маленький положительный пробный заряд q₀, помещённый туда, на единицу заряда: E = F / q₀. Единица: N/C (то же, что V/m). Это вектор.
Для точечного заряда q: E = kq / r², направлено от + и к −. Если известно E, сила на любой заряд q равна просто F = qE.
Пробный заряд должен быть очень малым, чтобы не сдвигать заряды-источники с места. Поле многих зарядов тоже складывается как векторы.
Силовые линии электрического поля
Силовая линия — это кривая, у которой касательная в каждой точке показывает направление E.
- Они начинаются на + зарядах и заканчиваются на − зарядах (или уходят в бесконечность).
- Они никогда не пересекаются: в точке пересечения у E было бы два направления.
- Чем ближе линии, тем сильнее поле.
- В электростатике они не образуют замкнутых петель.
- К поверхности проводника они подходят под углом 90°.
Картинки: одиночный + (линии прямо наружу), одиночный − (линии прямо внутрь), равные + и − (линии изгибаются от + к −), два равных + заряда (линии отталкиваются друг от друга, а посередине есть пустая нейтральная точка) и однородное поле (параллельные, равномерно расположенные линии).
Электрический диполь и его поле
Электрический диполь — это пара зарядов +q и −q на малом расстоянии 2a друг от друга. Его дипольный момент равен p = q × 2a, это вектор, направленный от − к +. Единица: C m. Молекулы воды — природные диполи.
Поле на оси (вдоль диполя)
На расстоянии r от центра вдоль оси: E = 2kpr / (r² − a²)², а при r ≫ a это превращается в E_осевое = 2kp / r³, по направлению p.
Поле на экваторе (сбоку)
На серединном перпендикуляре: E = kp / (r² + a²)^{3/2}, а при r ≫ a получается E_экв = kp / r³, против направления p.
Значит, далеко от диполя E падает как 1/r³, быстрее, чем у одного заряда (1/r²), потому что + и − почти гасят друг друга. И на одинаковом расстоянии E_осевое = 2 × E_экв.
Идея вывода (на оси)
Заряд + находится на расстоянии r − a, а заряд − на расстоянии r + a. E = kq/(r − a)² − kq/(r + a)² = kq·4ar/(r² − a²)² = 2kpr/(r² − a²)².
Вращающий момент на диполь в однородном поле
В однородном поле E на конец + действует сила qE вдоль E, а на конец − сила qE против E. Суммарная сила равна 0, поэтому диполь не сдвигается. Но две силы лежат на разных прямых, и они образуют пару сил:
τ = (qE)(2a sinθ) = pE sinθ, а в векторной форме τ = p × E.
- θ = 0°: τ = 0, равновесие устойчивое (p вдоль E).
- θ = 90°: τ = pE, максимум.
- θ = 180°: τ = 0, но равновесие неустойчивое.
В неоднородном поле две силы неравны, поэтому появляется ещё и результирующая сила — вот почему заряженная расчёска притягивает нейтральную бумагу (индуцированные диполи бумаги находятся в неоднородном поле).
Электрический поток
Электрический поток через поверхность показывает, сколько силовых линий через неё проходит:
Φ = E · A = EA cosθ, где θ — угол между E и внешней нормалью к площадке. Единица: N m² C⁻¹ (или V m). Это скаляр.
- E перпендикулярно поверхности (θ = 0): Φ = EA, максимум.
- E идёт вдоль поверхности (θ = 90°): Φ = 0.
- Линии, выходящие наружу, считаются со знаком +, входящие — со знаком −.
Теорема Гаусса и её применения: нить, плоскость, тонкая сферическая оболочка
Теорема Гаусса: полный поток через любую замкнутую поверхность равен заряду внутри, делённому на ε₀: ∮E·dA = q_in / ε₀. Заряды снаружи поверхности дают нулевой итоговый поток (каждая линия, которая входит, также выходит).
Рецепт: выберите воображаемую замкнутую поверхность (гауссову поверхность), на которой E одинаково по величине и направлено либо вдоль, либо перпендикулярно поверхности.
1. Бесконечно длинная прямая нить (заряд λ на метр)
Цилиндр радиуса r и длины l. Поток идёт только через боковую поверхность: E(2πrl) = λl/ε₀ → E = λ / (2πε₀r), направлено радиально наружу. E ∝ 1/r.
2. Бесконечная плоскость (σ на m²)
Маленький цилиндр, пронизывающий плоскость, с площадью основания A. Поток через оба основания: 2EA = σA/ε₀ → E = σ / (2ε₀). На любом расстоянии одно и то же.
3. Тонкая сферическая оболочка (заряд q, радиус R)
Сфера радиуса r. Снаружи (r > R): E(4πr²) = q/ε₀ → E = kq/r², как будто весь заряд находится в центре. Внутри (r < R): заряда внутри нет → E = 0. На поверхности: E = kq/R² = σ/ε₀.
Сам закон Кулона следует из теоремы Гаусса, применённой к сфере вокруг точечного заряда.
На что обратить внимание на экзамене
Разделы I и II вместе дают около 16 баллов. Частые задания: сформулировать и вывести (осевое и экваториальное поле диполя, момент сил на диполь, E нити, плоскости и оболочки по теореме Гаусса), нарисовать картины силовых линий, задача на 2–3 балла на силу Кулона с суперпозицией и вопрос про поток. В выводах всегда рисуйте гауссову поверхность.
Главные формулы и определения
- q = ne, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C
- F = k q₁q₂ / r², k = 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻²
- F_net = F₁ + F₂ + … (векторная сумма)
- E = F / q₀; точечный заряд E = kq / r²
- p = q × 2a; E_axial = 2kp/r³; E_equatorial = kp/r³
- τ = p × E, τ = pE sinθ
- Φ = EA cosθ; ∮E·dA = q_in/ε₀
- Нить E = λ/(2πε₀r); плоскость E = σ/(2ε₀); оболочка E = kq/r² (снаружи), 0 (внутри)
Разобранные примеры
1. Сколько электронов нужно убрать с нейтрального тела, чтобы оно получило заряд +3.2 µC?
n = q/e = 3.2 × 10⁻⁶ / 1.6 × 10⁻¹⁹ = 2 × 10¹³ электронов.
2. Два заряда +2 µC и −3 µC находятся на расстоянии 30 cm друг от друга в воздухе. Найдите силу.
F = 9 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶ × 3 × 10⁻⁶ / (0.3)² = 0.054/0.09 = 0.6 N, притяжение.
3. Сила между двумя зарядами равна 16 N. Расстояние увеличили вдвое, а каждый заряд уменьшили вдвое. Какой стала сила?
F ∝ q₁q₂/r². Новая = 16 × (½ × ½) / 2² = 16 × ¼ / 4 = 1 N.
4. Заряды +1 µC в точке A и +4 µC в точке B находятся на расстоянии 3 m друг от друга. Где между ними результирующая сила на третий заряд равна нулю?
Пусть точка на расстоянии x от A. k(1)/x² = k(4)/(3 − x)² → (3 − x) = 2x → x = 1 m от A (от меньшего заряда).
5. Три заряда по +2 µC находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной 10 cm. Найдите силу, действующую на один из них.
Каждая сила = 9 × 10⁹ × (2 × 10⁻⁶)² / 0.01 = 3.6 N. Угол между двумя силами = 60°. F = √(3.6² + 3.6² + 2 × 3.6² cos60°) = 3.6√3 ≈ 6.24 N, направлена вдоль внешней биссектрисы.
6. У диполя заряды ±5 nC находятся на расстоянии 2 mm друг от друга. Найдите p и поле на расстоянии 10 cm на его оси.
p = 5 × 10⁻⁹ × 2 × 10⁻³ = 10⁻¹¹ C m. E_axial = 2kp/r³ = 2 × 9 × 10⁹ × 10⁻¹¹ / 10⁻³ = 180 N/C, вдоль p.
7. Диполь с моментом 4 × 10⁻⁹ C m расположен под углом 30° к однородному полю 5 × 10⁴ N/C. Найдите вращающий момент.
τ = pE sinθ = 4 × 10⁻⁹ × 5 × 10⁴ × 0.5 = 1 × 10⁻⁴ N m.
8. Квадрат со стороной 10 cm лежит в однородном поле 200 N/C. Поле составляет угол 60° с нормалью. Найдите поток.
Φ = EA cosθ = 200 × 0.01 × 0.5 = 1 N m² C⁻¹.
9. Длинная нить несёт λ = 2 µC/m. Найдите E на расстоянии 20 cm.
E = 2kλ/r = 2 × 9 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶ / 0.2 = 1.8 × 10⁵ N/C, радиально наружу.
10. Оболочка радиусом 10 cm несёт +8 nC. Найдите E на расстоянии 5 cm и 20 cm от центра.
На 5 cm (внутри): E = 0. На 20 cm: E = 9 × 10⁹ × 8 × 10⁻⁹ / 0.04 = 1800 N/C.
Частые ошибки
- Забыть перевести µC в C (× 10⁻⁶) и cm в m перед использованием закона Кулона.
- Складывать величины сил от многих зарядов вместо того, чтобы складывать их как векторы.
- Думать, что поток через замкнутую поверхность зависит от зарядов снаружи: внешние заряды дают нулевой итоговый поток (но они меняют E в точках поверхности).
- Путать формулы диполя: осевое поле равно 2kp/r³, экваториальное kp/r³, а направление диполя — от − к +.