전하와 전하량 보존
전하는 물체가 다른 대전된 물체를 밀거나 당기게 만드는 성질이에요. 종류는 양(+)과 음(−) 두 가지예요. 같은 종류의 전하는 서로 밀어내고, 다른 종류의 전하는 서로 끌어당겨요.
기본 사실 세 가지
- 가법성: 전체 전하는 부호를 포함한 단순한 합이에요. +3 µC와 −5 µC를 합치면 −2 µC예요.
- 보존: 고립된 계의 전체 전하는 변하지 않아요. 문지르거나 닿게 하거나 핵반응이 일어나도 전하는 이동하거나 짝을 이룰 뿐, 알짜 전하가 새로 생기지는 않아요.
- 양자화: 모든 전하는 전자 전하의 정수배예요. q = ne, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C, n은 정수예요.
대전시키는 방법
마찰(문지르면 전자가 이동해요), 접촉(닿으면 전하를 나눠 가져요), 유도(대전된 막대를 가까이 대고, 먼 쪽을 접지했다가, 접지를 떼고 나서 막대를 치우면 물체는 반대 전하를 띠어요)가 있어요. 도체에서는 전하가 자유롭게 움직이고 부도체에서는 그러지 못해요.
해 보기: 플라스틱 자를 마른 머리카락에 문지른 뒤 가늘게 흐르는 수돗물에 가까이 대 보세요. 물줄기가 자 쪽으로 휘어요. 유도된 전하가 끌려 오는 거예요.
쿨롱 법칙
진공에서 r만큼 떨어진 두 점전하 q₁, q₂ 사이의 힘은 다음과 같아요.
F = k q₁q₂ / r², 여기서 k = 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻², ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² C² N⁻¹ m⁻² 예요.
- 힘은 두 전하를 잇는 직선 방향으로 작용해요.
- 중력처럼 거리 제곱에 반비례하지만, 끌어당기기만 하는 게 아니라 밀어내기도 해요. 그리고 두 양성자 사이에서는 중력보다 약 10³⁶배 더 세요.
- 유전 상수가 K인 매질에서는 힘이 F/K 로 줄어들어요.
벡터 형태: F₁₂ = k q₁q₂ r̂₂₁ / r², r̂₂₁ 은 q₂에서 q₁ 쪽을 향해요. 뉴턴의 제3법칙도 성립해요: F₁₂ = −F₂₁.
1 쿨롱은 진공에서 같은 전하로부터 1 m 떨어뜨렸을 때 9 × 10⁹ N 의 힘으로 밀어내는 전하량이에요. 엄청나게 큰 힘이라서 실험실의 실제 전하는 µC나 nC 단위예요.
여러 전하 사이의 힘: 중첩의 원리
전하가 여러 개 있을 때, 각 쌍은 다른 전하가 없는 것처럼 힘을 주고받아요. 한 전하가 받는 알짜힘은 나머지 모든 전하가 주는 힘의 벡터 합이에요.
F₁ = F₁₂ + F₁₃ + F₁₄ + …
푸는 순서
- 각 힘을 화살표로 그려요(밀면 멀어지는 쪽, 당기면 가까워지는 쪽).
- 쿨롱 법칙으로 각 힘의 크기를 구해요.
- x 성분과 y 성분으로 나누어 각각 더한 다음 합쳐요: F = √(Fx² + Fy²).
대칭을 이용하면 시간이 절약돼요. 정사각형이나 정삼각형의 꼭짓점에 같은 전하가 있으면 중심에서의 알짜힘은 0이에요.
연속적인 전하 분포
대전된 막대, 판, 공에서는 전하가 퍼져 있어서 밀도를 써요.
- 선전하 밀도 λ = 길이당 전하(C/m) – 도선.
- 면전하 밀도 σ = 넓이당 전하(C/m²) – 판이나 구껍질.
- 부피 전하 밀도 ρ = 부피당 전하(C/m³) – 속이 찬 공.
물체를 아주 작은 조각 dq = λdl, σdA, ρdV 로 나누고, 각 조각을 점전하로 보고 전기장을 모두 더해요(적분): E = ∫ k dq r̂ / r². 모양이 아주 대칭적이면 아래의 가우스 법칙으로 이 적분을 피할 수 있어요.
점전하의 전기장
어떤 점의 전기장은 그 자리에 놓은 아주 작은 양의 시험 전하 q₀가 받는 힘을 단위 전하당으로 나눈 값이에요: E = F / q₀. 단위는 N/C(V/m와 같아요)이고 벡터예요.
점전하 q의 전기장은 E = kq / r² 이고, +에서는 밖으로, −에서는 안쪽으로 향해요. E를 알면 어떤 전하 q가 받는 힘은 간단히 F = qE 로 구해요.
시험 전하는 원래 전하들을 밀어 움직이지 않도록 아주 작아야 해요. 여러 전하의 전기장도 역시 벡터로 더해요.
전기력선
전기력선은 곡선 위 모든 점에서 접선 방향이 그 점의 E 방향을 나타내는 곡선이에요.
- + 전하에서 시작해서 − 전하(또는 무한히 먼 곳)에서 끝나요.
- 서로 교차하지 않아요. 교차하면 그 점에서 E의 방향이 두 개가 되기 때문이에요.
- 선이 가까울수록 전기장이 세요.
- 정전기에서는 닫힌 고리를 만들지 않아요.
- 도체 표면과는 90°로 만나요.
모양: 하나의 + (선이 곧게 밖으로), 하나의 − (곧게 안으로), 크기가 같은 + 와 − (선이 +에서 −로 휘어져요), 같은 + 두 개(선이 서로 밀려나고 가운데에 선이 없는 중성점이 생겨요), 균일한 전기장(평행하고 간격이 일정한 선)이 있어요.
전기 쌍극자와 그 전기장
전기 쌍극자는 작은 거리 2a만큼 떨어진 +q 와 −q 한 쌍이에요. 쌍극자 모멘트는 p = q × 2a 이고 −에서 +를 향하는 벡터예요. 단위는 C m 예요. 물 분자는 자연 상태의 쌍극자예요.
축 위의 전기장(끝쪽)
중심에서 축을 따라 r만큼 떨어진 곳: E = 2kpr / (r² − a²)² 이고, r ≫ a 이면 E_축 = 2kp / r³ 이며 방향은 p와 같아요.
수직이등분선 위의 전기장(옆쪽)
수직이등분선 위: E = kp / (r² + a²)^{3/2} 이고, r ≫ a 이면 E_수직 = kp / r³ 이며 방향은 p와 반대예요.
그래서 쌍극자에서 멀리 떨어지면 E는 1/r³ 로 줄어요. 점전하(1/r²)보다 빨리 줄어드는 이유는 + 와 −가 거의 서로 상쇄하기 때문이에요. 같은 거리에서 E_축 = 2 × E_수직 이에요.
유도 아이디어(축 위)
+ 전하까지의 거리는 r − a, − 전하까지의 거리는 r + a 예요. E = kq/(r − a)² − kq/(r + a)² = kq·4ar/(r² − a²)² = 2kpr/(r² − a²)².
균일한 전기장 속 쌍극자의 돌림힘
균일한 전기장 E 안에서 + 쪽 끝은 E 방향으로 qE, − 쪽 끝은 반대 방향으로 qE 의 힘을 받아요. 알짜힘은 0이라서 쌍극자는 멀리 움직이지 않아요. 하지만 두 힘이 서로 다른 직선 위에 있어서 짝힘(우력)을 이루어요.
τ = (qE)(2a sinθ) = pE sinθ, 벡터로는 τ = p × E 예요.
- θ = 0°: τ = 0, 안정(p가 E와 같은 방향).
- θ = 90°: τ = pE, 최댓값.
- θ = 180°: τ = 0 이지만 불안정.
불균일한 전기장에서는 두 힘의 크기가 달라서 알짜힘도 생겨요. 그래서 대전된 빗이 중성인 종이를 끌어당겨요(종이에 유도된 쌍극자가 불균일한 전기장 속에 있기 때문이에요).
전기 선속
면을 지나는 전기 선속은 그 면을 통과하는 전기력선의 수를 나타내요.
Φ = E · A = EA cosθ, θ는 E와 넓이의 바깥쪽 수직 방향 사이의 각이에요. 단위는 N m² C⁻¹ (또는 V m)이고 스칼라예요.
- E가 면에 수직(θ = 0): Φ = EA, 최댓값.
- E가 면과 나란함(θ = 90°): Φ = 0.
- 밖으로 나오는 선은 +, 안으로 들어가는 선은 −로 세요.
가우스 법칙과 활용: 도선, 무한 평면, 얇은 구껍질
가우스 법칙: 닫힌 곡면을 지나 나가는 전체 선속은 곡면 안의 전하를 ε₀로 나눈 값과 같아요: ∮E·dA = q_내부 / ε₀. 곡면 밖의 전하는 알짜 선속에 0을 더해요(들어간 선은 반드시 다시 나와요).
방법: E의 크기가 곡면 위에서 일정하고, 곡면에 나란하거나 수직인 닫힌 가상의 곡면(가우스 곡면)을 고르세요.
1. 무한히 긴 직선 도선(단위 길이당 전하 λ)
반지름 r, 길이 l 인 원기둥을 잡아요. 선속은 옆면만 지나요: E(2πrl) = λl/ε₀ → E = λ / (2πε₀r), 방향은 도선에서 바깥쪽이에요. E ∝ 1/r.
2. 무한 평면(단위 넓이당 σ)
판을 가로지르는 작은 원기둥을 잡고 밑면의 넓이를 A라고 해요. 양쪽 밑면을 지나는 선속: 2EA = σA/ε₀ → E = σ / (2ε₀). 어느 거리에서나 같아요.
3. 얇은 구껍질(전하 q, 반지름 R)
반지름 r 인 구를 잡아요. 바깥(r > R): E(4πr²) = q/ε₀ → E = kq/r², 전하가 모두 중심에 있는 것과 같아요. 안쪽(r < R): 둘러싼 전하가 없으므로 → E = 0. 표면에서: E = kq/R² = σ/ε₀.
쿨롱 법칙도 점전하를 둘러싼 구에 가우스 법칙을 적용하면 얻어져요.
시험 대비 핵심
I단원과 II단원을 합치면 약 16점이에요. 자주 나오는 문제: 서술·유도(쌍극자의 축 방향/수직 방향 전기장, 쌍극자의 돌림힘, 가우스 법칙으로 도선·평면·구껍질의 E), 전기력선 그리기, 중첩을 이용한 쿨롱 힘 계산 문제(2~3점), 선속 문제예요. 유도 과정에서는 항상 가우스 곡면을 그리세요.
핵심 공식과 정의
- q = ne, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C
- F = k q₁q₂ / r², k = 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻²
- F_알짜 = F₁ + F₂ + … (벡터 합)
- E = F / q₀; 점전하 E = kq / r²
- p = q × 2a; E_축 = 2kp/r³; E_수직 = kp/r³
- τ = p × E, τ = pE sinθ
- Φ = EA cosθ; ∮E·dA = q_내부/ε₀
- 도선 E = λ/(2πε₀r); 평면 E = σ/(2ε₀); 구껍질 E = kq/r² (바깥), 0 (안쪽)
풀이 예제
1. 중성인 물체에 +3.2 µC 의 전하를 띠게 하려면 전자를 몇 개 떼어 내야 할까요?
n = q/e = 3.2 × 10⁻⁶ / 1.6 × 10⁻¹⁹ = 2 × 10¹³ 개.
2. +2 µC 와 −3 µC 의 두 전하가 공기 중에서 30 cm 떨어져 있어요. 힘을 구하세요.
F = 9 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶ × 3 × 10⁻⁶ / (0.3)² = 0.054/0.09 = 0.6 N, 인력.
3. 두 전하 사이의 힘이 16 N 이에요. 거리를 두 배로 하고 각 전하를 절반으로 하면 새로운 힘은?
F ∝ q₁q₂/r². 새로운 힘 = 16 × (½ × ½) / 2² = 16 × ¼ / 4 = 1 N.
4. A에 +1 µC, B에 +4 µC 이 3 m 떨어져 있어요. 둘 사이 어디에서 세 번째 전하가 받는 알짜힘이 0일까요?
그 점이 A에서 x 만큼 떨어졌다고 해요. k(1)/x² = k(4)/(3 − x)² → (3 − x) = 2x → x = A에서 1 m (작은 전하 쪽).
5. 한 변이 10 cm 인 정삼각형의 꼭짓점마다 +2 µC 이 놓여 있어요. 그중 하나가 받는 힘을 구하세요.
각 힘 = 9 × 10⁹ × (2 × 10⁻⁶)² / 0.01 = 3.6 N. 두 힘 사이의 각 = 60°. F = √(3.6² + 3.6² + 2 × 3.6² cos60°) = 3.6√3 ≈ 6.24 N, 바깥쪽 이등분선 방향.
6. ±5 nC 의 전하가 2 mm 떨어진 쌍극자가 있어요. p 와 축 위 10 cm 떨어진 곳의 전기장을 구하세요.
p = 5 × 10⁻⁹ × 2 × 10⁻³ = 10⁻¹¹ C m. E_축 = 2kp/r³ = 2 × 9 × 10⁹ × 10⁻¹¹ / 10⁻³ = 180 N/C, p 방향.
7. 모멘트 4 × 10⁻⁹ C m 인 쌍극자가 5 × 10⁴ N/C 의 균일한 전기장과 30°를 이루고 있어요. 돌림힘을 구하세요.
τ = pE sinθ = 4 × 10⁻⁹ × 5 × 10⁴ × 0.5 = 1 × 10⁻⁴ N m.
8. 한 변이 10 cm 인 정사각형이 200 N/C 의 균일한 전기장 안에 있어요. 전기장은 면의 수직 방향과 60°를 이뤄요. 선속을 구하세요.
Φ = EA cosθ = 200 × 0.01 × 0.5 = 1 N m² C⁻¹.
9. 긴 도선의 λ = 2 µC/m 예요. 20 cm 떨어진 곳의 E 를 구하세요.
E = 2kλ/r = 2 × 9 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶ / 0.2 = 1.8 × 10⁵ N/C, 바깥 방향.
10. 반지름 10 cm 인 구껍질이 +8 nC 을 띠고 있어요. 중심에서 5 cm 와 20 cm 떨어진 곳의 E 를 구하세요.
5 cm(안쪽): E = 0. 20 cm: E = 9 × 10⁹ × 8 × 10⁻⁹ / 0.04 = 1800 N/C.
자주 하는 실수
- 쿨롱 법칙을 쓰기 전에 µC 를 C 로(× 10⁻⁶), cm 를 m 로 바꾸는 것을 잊어요.
- 여러 전하가 주는 힘을 벡터로 더하지 않고 크기만 그대로 더해요.
- 닫힌 곡면을 지나는 선속이 곡면 밖의 전하에 따라 달라진다고 생각해요. 밖의 전하는 알짜 선속이 0이에요(하지만 곡면 위 각 점의 E 는 바꿔요).
- 쌍극자 공식을 헷갈려요. 축 방향 전기장은 2kp/r³, 수직 방향은 kp/r³ 이고, 쌍극자의 방향은 −에서 +예요.