Elektrische lading en behoud van lading
Lading is een eigenschap van materie waardoor andere geladen voorwerpen worden afgestoten of aangetrokken. Er zijn twee soorten: positief (+) en negatief (−). Gelijke ladingen stoten af. Ongelijke ladingen trekken aan.
Drie basisfeiten
- Optelbaarheid: de totale lading is de gewone som met tekens. +3 µC en −5 µC samen geven −2 µC.
- Behoud: in een geïsoleerd systeem verandert de totale lading nooit. Wrijven, aanraken of zelfs kernreacties verplaatsen of koppelen alleen ladingen; ze maken nooit netto lading.
- Kwantisatie: elke lading is een heel aantal elektronladingen: q = ne, met e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C en n een geheel getal.
Manieren om te laden
Door wrijving (wrijven verplaatst elektronen), door geleiding (aanraken verdeelt lading) en door influentie (houd een geladen staaf dichtbij, aard de verre kant, haal de aarding weg en daarna de staaf: het voorwerp houdt de tegengestelde lading). Geleiders laten lading vrij bewegen; isolatoren niet.
Probeer zelf: wrijf een plastic liniaal door droog haar en houd hem bij een dun straaltje kraanwater. Het straaltje buigt naar de liniaal toe – geïnduceerde lading wordt aangetrokken.
De wet van Coulomb
De kracht tussen twee puntladingen q₁ en q₂ op afstand r van elkaar in vacuüm is
F = k q₁q₂ / r², met k = 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻² en ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² C² N⁻¹ m⁻².
- De kracht werkt langs de lijn die de ladingen verbindt.
- Het is een omgekeerd-kwadratische wet, net als de zwaartekracht – maar hij kan afstoten én aantrekken en is tussen twee protonen ongeveer 10³⁶ keer sterker.
- In een medium met diëlektrische constante K wordt de kracht F/K.
Vectorvorm: F₁₂ = k q₁q₂ r̂₂₁ / r², waarbij r̂₂₁ van q₂ naar q₁ wijst. De derde wet van Newton geldt: F₁₂ = −F₂₁.
1 coulomb is de lading die, op 1 m van een gelijke lading in vacuüm, die lading met 9 × 10⁹ N afstoot – een enorme kracht, daarom zijn ladingen in het lab meestal µC of nC.
Krachten tussen veel ladingen: het superpositiebeginsel
Bij veel ladingen werkt elk paar alsof de anderen er niet zijn. De nettokracht op één lading is de vectorsom van de krachten van alle andere:
F₁ = F₁₂ + F₁₃ + F₁₄ + …
Hoe los je dit op
- Teken elke kracht als pijl (afstoten = weg, aantrekken = naartoe).
- Bereken elke grootte met de wet van Coulomb.
- Splits in x- en y-delen, tel elk deel op en combineer: F = √(Fx² + Fy²).
Symmetrie bespaart tijd: gelijke ladingen op de hoeken van een vierkant of een gelijkzijdige driehoek geven nul nettokracht in het midden.
Continue ladingsverdeling
Op een geladen staaf, plaat of bol is de lading uitgespreid, dus gebruiken we dichtheden:
- Lineair λ = lading per lengte (C/m) – een draad.
- Oppervlakte σ = lading per oppervlak (C/m²) – een plaat of schil.
- Volume ρ = lading per volume (C/m³) – een massieve bol.
We knippen het voorwerp in piepkleine stukjes dq = λdl, σdA of ρdV, behandelen elk als puntlading en tellen (integreren) hun velden op: E = ∫ k dq r̂ / r². De wet van Gauss (hieronder) voorkomt deze integraal als de vorm heel symmetrisch is.
Elektrisch veld van een puntlading
Het elektrisch veld op een punt is de kracht op een kleine positieve proeflading q₀ die daar staat, per lading: E = F / q₀. Eenheid: N/C (gelijk aan V/m). Het is een vector.
Voor een puntlading q: E = kq / r², wijzend van + af en naar − toe. Als je E kent, is de kracht op elke lading q gewoon F = qE.
De proeflading moet klein zijn, zodat hij de bronladingen niet verschuift. Het veld van veel ladingen tel je weer op als vectoren.
Elektrische veldlijnen
Een veldlijn is een kromme waarvan de raaklijn in elk punt de richting van E aangeeft.
- Ze beginnen op + ladingen en eindigen op − ladingen (of in het oneindige).
- Ze kruisen nooit – op een kruispunt zou E twee richtingen hebben.
- Dichter bij elkaar = sterker veld.
- Ze vormen in de elektrostatica geen gesloten lussen.
- Ze komen onder 90° op het oppervlak van een geleider aan.
Beelden: één + (lijnen recht naar buiten), één − (recht naar binnen), gelijke + en − (lijnen buigen van + naar −), twee gelijke + ladingen (lijnen duwen elkaar weg met een leeg neutraal punt in het midden), en een homogeen veld (evenwijdige, gelijk verdeelde lijnen).
Elektrische dipool en zijn veld
Een elektrische dipool is een paar +q en −q op een kleine afstand 2a van elkaar. Het dipoolmoment is p = q × 2a, een vector van − naar +. Eenheid: C m. Watermoleculen zijn van nature dipolen.
Veld op de as (aan het uiteinde)
Op afstand r van het midden langs de as: E = 2kpr / (r² − a²)², en voor r ≫ a wordt dat E_axiaal = 2kp / r³, langs p.
Veld op de middelloodlijn (zijwaarts)
Op de middelloodlijn: E = kp / (r² + a²)^{3/2}, en voor r ≫ a wordt dat E_eq = kp / r³, tegengesteld aan p.
Ver van een dipool valt E dus af als 1/r³, sneller dan bij één lading (1/r²), omdat + en − elkaar bijna opheffen. En E_axiaal = 2 × E_eq op dezelfde afstand.
Idee van de afleiding (axiaal)
De +lading staat op afstand r − a en de −lading op r + a. E = kq/(r − a)² − kq/(r + a)² = kq·4ar/(r² − a²)² = 2kpr/(r² − a²)².
Koppel op een dipool in een homogeen veld
In een homogeen veld E voelt het +uiteinde qE langs E en het −uiteinde qE tegengesteld. Nettokracht = 0, dus de dipool schuift niet weg. Maar de twee krachten liggen op verschillende lijnen, dus vormen ze een koppel:
τ = (qE)(2a sinθ) = pE sinθ, of in vectorvorm τ = p × E.
- θ = 0°: τ = 0, stabiel (p langs E).
- θ = 90°: τ = pE, het maximum.
- θ = 180°: τ = 0 maar instabiel.
In een niet-homogeen veld zijn de twee krachten ongelijk, dus is er ook een nettokracht – daarom trekt een geladen kam neutraal papier aan (de geïnduceerde dipolen van het papier zitten in een niet-homogeen veld).
Elektrische flux
De elektrische flux door een oppervlak meet hoeveel veldlijnen erdoorheen gaan:
Φ = E · A = EA cosθ, waarbij θ de hoek is tussen E en de naar buiten wijzende normaal van het oppervlak. Eenheid: N m² C⁻¹ (of V m). Scalair.
- E loodrecht op het oppervlak (θ = 0): Φ = EA, maximaal.
- E langs het oppervlak (θ = 90°): Φ = 0.
- Lijnen die naar buiten komen tellen +, lijnen die naar binnen gaan tellen −.
De wet van Gauss en toepassingen: draad, plat vlak, dunne bolschil
Wet van Gauss: de totale flux uit een gesloten oppervlak is gelijk aan de ingesloten lading gedeeld door ε₀: ∮E·dA = q_in / ε₀. Ladingen buiten het oppervlak geven netto nul flux (elke lijn die binnenkomt, gaat ook weer weg).
Recept: kies een gesloten denkbeeldig oppervlak (een gaussoppervlak) waarop E overal even groot is en langs of loodrecht op het oppervlak staat.
1. Oneindig lange rechte draad (lading λ per meter)
Cilinder met straal r en lengte l. Flux alleen door de bolle zijkant: E(2πrl) = λl/ε₀ → E = λ / (2πε₀r), radiaal naar buiten. E ∝ 1/r.
2. Oneindig plat vlak (σ per m²)
Kleine cilinder door het vlak met eindoppervlak A. Flux door beide uiteinden: 2EA = σA/ε₀ → E = σ / (2ε₀). Op alle afstanden gelijk.
3. Dunne bolschil (lading q, straal R)
Bol met straal r. Buiten (r > R): E(4πr²) = q/ε₀ → E = kq/r², alsof alle lading in het midden zit. Binnen (r < R): geen ingesloten lading → E = 0. Aan het oppervlak: E = kq/R² = σ/ε₀.
De wet van Coulomb zelf volgt uit de wet van Gauss toegepast op een bol rond een puntlading.
Aandachtspunten voor het examen
Eenheid I en II samen leveren ongeveer 16 punten op. Veelgevraagd: benoem en leid af (axiaal/equatoriaal dipoolveld, koppel op een dipool, E van draad/plaat/schil met de wet van Gauss), teken veldlijnpatronen, een rekenopgave van 2–3 punten over de coulombkracht met superpositie, en een fluxvraag. Teken bij afleidingen altijd het gaussoppervlak.
Belangrijke formules en begrippen
- q = ne, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C
- F = k q₁q₂ / r², k = 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻²
- F_net = F₁ + F₂ + … (vectorsom)
- E = F / q₀; puntlading E = kq / r²
- p = q × 2a; E_axiaal = 2kp/r³; E_equatoriaal = kp/r³
- τ = p × E, τ = pE sinθ
- Φ = EA cosθ; ∮E·dA = q_in/ε₀
- Draad E = λ/(2πε₀r); plaat E = σ/(2ε₀); schil E = kq/r² (buiten), 0 (binnen)
Uitgewerkte voorbeelden
1. Hoeveel elektronen moeten van een neutraal voorwerp worden weggehaald om het +3.2 µC te geven?
n = q/e = 3.2 × 10⁻⁶ / 1.6 × 10⁻¹⁹ = 2 × 10¹³ elektronen.
2. Twee ladingen +2 µC en −3 µC staan 30 cm uit elkaar in lucht. Bereken de kracht.
F = 9 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶ × 3 × 10⁻⁶ / (0.3)² = 0.054/0.09 = 0.6 N, aantrekkend.
3. De kracht tussen twee ladingen is 16 N. De afstand wordt verdubbeld en elke lading gehalveerd. Nieuwe kracht?
F ∝ q₁q₂/r². Nieuw = 16 × (½ × ½) / 2² = 16 × ¼ / 4 = 1 N.
4. Ladingen +1 µC in A en +4 µC in B staan 3 m uit elkaar. Waar tussen beide is de nettokracht op een derde lading nul?
Het punt ligt op x van A. k(1)/x² = k(4)/(3 − x)² → (3 − x) = 2x → x = 1 m van A (de kleinere lading).
5. Drie ladingen van elk +2 µC staan op de hoeken van een gelijkzijdige driehoek met zijde 10 cm. Bereken de kracht op één ervan.
Elke kracht = 9 × 10⁹ × (2 × 10⁻⁶)² / 0.01 = 3.6 N. Hoek tussen de twee krachten = 60°. F = √(3.6² + 3.6² + 2 × 3.6² cos60°) = 3.6√3 ≈ 6.24 N, langs de naar buiten wijzende bissectrice.
6. Een dipool heeft ladingen ±5 nC op 2 mm van elkaar. Bereken p en het veld op 10 cm afstand op de as.
p = 5 × 10⁻⁹ × 2 × 10⁻³ = 10⁻¹¹ C m. E_axiaal = 2kp/r³ = 2 × 9 × 10⁹ × 10⁻¹¹ / 10⁻³ = 180 N/C, langs p.
7. Een dipool met moment 4 × 10⁻⁹ C m staat onder 30° met een homogeen veld van 5 × 10⁴ N/C. Bereken het koppel.
τ = pE sinθ = 4 × 10⁻⁹ × 5 × 10⁴ × 0.5 = 1 × 10⁻⁴ N m.
8. Een vierkant met zijde 10 cm ligt in een homogeen veld van 200 N/C. Het veld maakt 60° met de normaal. Bereken de flux.
Φ = EA cosθ = 200 × 0.01 × 0.5 = 1 N m² C⁻¹.
9. Een lange draad draagt λ = 2 µC/m. Bereken E op 20 cm.
E = 2kλ/r = 2 × 9 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶ / 0.2 = 1.8 × 10⁵ N/C, radiaal naar buiten.
10. Een schil met straal 10 cm heeft +8 nC. Bereken E op 5 cm en op 20 cm van het midden.
Op 5 cm (binnen): E = 0. Op 20 cm: E = 9 × 10⁹ × 8 × 10⁻⁹ / 0.04 = 1800 N/C.
Veelgemaakte fouten
- Vergeten µC om te rekenen naar C (× 10⁻⁶) en cm naar m voordat je de wet van Coulomb gebruikt.
- De groottes van krachten van veel ladingen optellen in plaats van ze als vectoren op te tellen.
- Denken dat de flux door een gesloten oppervlak afhangt van ladingen erbuiten – ladingen buiten geven netto nul flux (maar ze veranderen wel E op punten van het oppervlak).
- Dipoolformules door elkaar halen: het axiale veld is 2kp/r³, het equatoriale kp/r³, en de dipoolrichting is van − naar +.