电荷与电荷守恒
电荷是物质的一种性质，它让带电的物体互相排斥或吸引。电荷有两种：正电荷（+）和负电荷（−）。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
三条基本事实
- 可加性：总电荷就是带符号的简单相加。+3 µC 和 −5 µC 合在一起是 −2 µC。
- 守恒：在孤立系统中，总电荷永远不变。摩擦、接触甚至核反应，都只是移动电荷或成对出现，不会凭空产生净电荷。
- 量子化：任何电荷都是电子电荷的整数倍：q = ne，其中 e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C，n 是整数。
起电方式
摩擦起电（摩擦使电子转移）、接触起电（接触后电荷平分）和感应起电（把带电棒靠近，将远端接地，先断开接地线，再移走带电棒：物体留下相反的电荷）。导体中电荷可以自由移动，绝缘体则不行。
试一试：用塑料尺在干燥的头发上摩擦，然后靠近一条细细的自来水流。水流会向尺子弯过去，这是感应电荷被吸引的结果。
库仑定律
真空中两个相距 r 的点电荷 q₁ 和 q₂ 之间的力是
F = k q₁q₂ / r²，其中 k = 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻²，ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² C² N⁻¹ m⁻²。
- 力沿着两个电荷的连线方向。
- 它和万有引力一样是平方反比定律，但它既可以是斥力也可以是引力，而且在两个质子之间大约比引力强 10³⁶ 倍。
- 在介电常数为 K 的介质中，力变为 F/K。
矢量形式：F₁₂ = k q₁q₂ r̂₂₁ / r²，其中 r̂₂₁ 由 q₂ 指向 q₁。牛顿第三定律成立：F₁₂ = −F₂₁。
1 库仑是这样的电荷：把它放在真空中离另一个相等电荷 1 m 处，两者之间的斥力为 9 × 10⁹ N，这是一个巨大的力，所以实验室里的电荷常常只有 µC 或 nC 的量级。
多个电荷之间的力：叠加原理
有很多电荷时，每一对电荷之间的作用都和其他电荷无关。一个电荷受到的合力，等于其他所有电荷对它的力的矢量和：
F₁ = F₁₂ + F₁₃ + F₁₄ + …
怎么解题
- 把每个力画成箭头（排斥是远离，吸引是靠近）。
- 用库仑定律求出每个力的大小。
- 分解成 x 和 y 两个分量，分别相加，再合成：F = √(Fx² + Fy²)。
利用对称性可以省时间：正方形或正三角形的顶点上放相等的电荷，中心处的合力为零。
连续分布的电荷
带电的棒、平板或球上，电荷是散开分布的，所以我们用密度来描述：
- 线密度 λ = 单位长度的电荷（C/m），用于导线。
- 面密度 σ = 单位面积的电荷（C/m²），用于平板或球壳。
- 体密度 ρ = 单位体积的电荷（C/m³），用于实心球。
我们把物体切成许多小块，每一小块的电荷是 dq = λdl、σdA 或 ρdV，把它当作点电荷，再把它们的场加起来（积分）：E = ∫ k dq r̂ / r²。如果形状很对称，下面的高斯定理可以让我们省去这个积分。
点电荷的电场
某一点的电场强度，是放在那里的一个很小的正试探电荷 q₀ 受到的力除以它的电荷量：E = F / q₀。单位是 N/C（和 V/m 相同）。它是矢量。
对于点电荷 q：E = kq / r²，方向背离正电荷、指向负电荷。知道 E 之后，任何电荷 q 受到的力就是 F = qE。
试探电荷必须很小，这样它才不会把产生电场的电荷推离原位。多个电荷的电场同样按矢量相加。
电场线
电场线是一条曲线，曲线上每一点的切线方向就是该点 E 的方向。
- 它们从正电荷出发，终止于负电荷（或无穷远处）。
- 电场线不会相交，因为在交点处 E 就有两个方向了。
- 线越密，场越强。
- 在静电场中，电场线不会形成闭合的圈。
- 它们与导体表面垂直（成 90°）。
常见图样：单个正电荷（线笔直向外），单个负电荷（线笔直向内），等量异号电荷（线从正电荷弯向负电荷），两个等量正电荷（线互相推开，中间有一个场强为零的空点），以及匀强电场（平行且间隔均匀的线）。
电偶极子及其电场
电偶极子是相距很近（距离 2a）的一对 +q 和 −q。它的偶极矩是 p = q × 2a，是矢量，方向由 − 指向 +。单位：C m。水分子就是天然的偶极子。
轴线上的场（端点方向）
在轴线上离中心 r 处：E = 2kpr / (r² − a²)²，当 r ≫ a 时变成 E_轴 = 2kp / r³，方向沿 p。
赤道线上的场（中垂线方向）
在中垂线上：E = kp / (r² + a²)^{3/2}，当 r ≫ a 时变成 E_赤 = kp / r³，方向与 p 相反。
所以离偶极子很远时，E 按 1/r³ 减小，比单个电荷（1/r²）下降得更快，因为 + 和 − 几乎互相抵消。在同样的距离上，E_轴 = 2 × E_赤。
推导思路（轴线）
正电荷离该点 r − a，负电荷离该点 r + a。E = kq/(r − a)² − kq/(r + a)² = kq·4ar/(r² − a²)² = 2kpr/(r² − a²)²。
匀强电场中偶极子受的力矩
在匀强电场 E 中，+ 端受到沿 E 方向的力 qE，− 端受到反方向的力 qE。合力为 0，所以偶极子不会被推走。但这两个力不在同一条直线上，所以形成一个力偶：
τ = (qE)(2a sinθ) = pE sinθ，矢量形式为 τ = p × E。
- θ = 0°：τ = 0，稳定平衡（p 沿 E）。
- θ = 90°：τ = pE，最大。
- θ = 180°：τ = 0，但不稳定。
在非匀强电场中，两个力大小不等，所以还会有合力。这就是带电梳子能吸起不带电纸屑的原因（纸屑上的感应偶极子处在非匀强电场中）。
电通量
穿过某个面的电通量，衡量有多少电场线穿过它：
Φ = E · A = EA cosθ，其中 θ 是 E 与该面外法线之间的夹角。单位：N m² C⁻¹（或 V m）。标量。
- E 垂直于该面（θ = 0）：Φ = EA，最大。
- E 与该面平行（θ = 90°）：Φ = 0。
- 穿出的线算正，穿入的线算负。
高斯定理及应用：导线、平板、薄球壳
高斯定理：穿出任意闭合曲面的总通量，等于曲面内包围的电荷除以 ε₀：∮E·dA = q_内 / ε₀。曲面外的电荷对净通量没有贡献（每条进入的线也会出去）。
步骤：选一个想象的闭合曲面（高斯面），在这个面上 E 的大小处处相同，并且要么沿着曲面，要么垂直于曲面。
1. 无限长直导线（每米电荷 λ）
取半径 r、长 l 的圆柱面。只有弯曲的侧面有通量：E(2πrl) = λl/ε₀ → E = λ / (2πε₀r)，方向沿半径向外。E ∝ 1/r。
2. 无限大平板（每平方米 σ）
取穿过平板的小圆柱，端面积为 A。通过两个端面的通量：2EA = σA/ε₀ → E = σ / (2ε₀)。在任何距离处都一样。
3. 薄球壳（电荷 q，半径 R）
取半径 r 的球面。外部（r > R）：E(4πr²) = q/ε₀ → E = kq/r²，就像所有电荷都在球心。内部（r < R）：里面没有电荷 → E = 0。在表面上：E = kq/R² = σ/ε₀。
把高斯定理用在点电荷外的球面上，就能推出库仑定律本身。
考试重点
第一、二单元合起来大约占 16 分。常见考法：叙述并推导（偶极子轴线/赤道线上的场、偶极子的力矩、用高斯定理求导线/平板/球壳的 E）、画电场线图样、2 到 3 分的库仑力叠加计算题，以及一道通量题。推导时一定要画出高斯面。
重点公式和概念
- q = ne, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C
- F = k q₁q₂ / r², k = 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻²
- F_合 = F₁ + F₂ + …（矢量和）
- E = F / q₀；点电荷 E = kq / r²
- p = q × 2a; E_轴 = 2kp/r³; E_赤 = kp/r³
- τ = p × E, τ = pE sinθ
- Φ = EA cosθ; ∮E·dA = q_内/ε₀
- 导线 E = λ/(2πε₀r)；平板 E = σ/(2ε₀)；球壳 E = kq/r²（外部），0（内部）
例题讲解
1. 要让一个中性物体带上 +3.2 µC 的电荷，必须从它上面移走多少个电子？
n = q/e = 3.2 × 10⁻⁶ / 1.6 × 10⁻¹⁹ = 2 × 10¹³ 个电子。
2. +2 µC 和 −3 µC 两个电荷在空气中相距 30 cm。求它们之间的力。
F = 9 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶ × 3 × 10⁻⁶ / (0.3)² = 0.054/0.09 = 0.6 N，为引力。
3. 两个电荷之间的力是 16 N。把距离变成两倍，同时每个电荷变成一半。新的力是多少？
F ∝ q₁q₂/r²。新的力 = 16 × (½ × ½) / 2² = 16 × ¼ / 4 = 1 N。
4. A 点有 +1 µC，B 点有 +4 µC，相距 3 m。在它们之间的什么位置，第三个电荷受到的合力为零？
设该点离 A 为 x。k(1)/x² = k(4)/(3 − x)² → (3 − x) = 2x → x = 1 m（离较小的电荷 1 m）。
5. 三个 +2 µC 的电荷分别放在边长 10 cm 的正三角形的三个顶点上。求其中一个电荷受到的力。
每个力 = 9 × 10⁹ × (2 × 10⁻⁶)² / 0.01 = 3.6 N。两个力之间的夹角 = 60°。F = √(3.6² + 3.6² + 2 × 3.6² cos60°) = 3.6√3 ≈ 6.24 N，沿向外的角平分线方向。
6. 一个偶极子的电荷为 ±5 nC，相距 2 mm。求 p，以及轴线上离它 10 cm 处的场。
p = 5 × 10⁻⁹ × 2 × 10⁻³ = 10⁻¹¹ C m。E_轴 = 2kp/r³ = 2 × 9 × 10⁹ × 10⁻¹¹ / 10⁻³ = 180 N/C，沿 p 方向。
7. 偶极矩为 4 × 10⁻⁹ C m 的偶极子与 5 × 10⁴ N/C 的匀强电场成 30° 角。求力矩。
τ = pE sinθ = 4 × 10⁻⁹ × 5 × 10⁴ × 0.5 = 1 × 10⁻⁴ N m。
8. 边长 10 cm 的正方形放在 200 N/C 的匀强电场中。电场与法线成 60° 角。求通量。
Φ = EA cosθ = 200 × 0.01 × 0.5 = 1 N m² C⁻¹。
9. 一根长导线的 λ = 2 µC/m。求离它 20 cm 处的 E。
E = 2kλ/r = 2 × 9 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶ / 0.2 = 1.8 × 10⁵ N/C，沿半径向外。
10. 半径 10 cm 的球壳带 +8 nC。求离球心 5 cm 处和 20 cm 处的 E。
在 5 cm（内部）：E = 0。在 20 cm：E = 9 × 10⁹ × 8 × 10⁻⁹ / 0.04 = 1800 N/C。
常见错误
- 用库仑定律之前，忘了把 µC 换成 C（× 10⁻⁶）、把 cm 换成 m。
- 多个电荷的力只把大小加起来，而没有按矢量相加。
- 以为穿过闭合曲面的通量取决于曲面外的电荷。其实外部电荷的净通量为零（但它们确实会改变曲面上各点的 E）。
- 把偶极子的公式弄混：轴线上的场是 2kp/r³，赤道线上是 kp/r³，而且偶极子的方向是由 − 指向 +。