Carga elétrica e sua conservação
Carga é uma propriedade da matéria que faz os corpos empurrarem ou puxarem outros corpos carregados. Há dois tipos: positiva (+) e negativa (−). Cargas iguais se repelem. Cargas diferentes se atraem.
Três fatos básicos
- Aditividade: a carga total é a soma simples, com os sinais. +3 µC e −5 µC juntas dão −2 µC.
- Conservação: num sistema isolado a carga total nunca muda. Atrito, contato ou até reações nucleares só movem ou formam pares de cargas; nunca criam carga líquida.
- Quantização: toda carga é um número inteiro de cargas do elétron: q = ne, com e = 1,6 × 10⁻¹⁹ C e n um número inteiro.
Formas de carregar um corpo
Por atrito (esfregar move elétrons), por contato (tocar reparte a carga) e por indução (aproxime um bastão carregado, ligue o lado distante à terra, desligue a terra e só então afaste o bastão: o objeto fica com a carga oposta). Condutores deixam a carga se mover livremente; isolantes não.
Experimente: esfregue uma régua de plástico no cabelo seco e aproxime-a de um fio fino de água da torneira. O fio se curva em direção à régua – é a carga induzida sendo puxada.
Lei de Coulomb
A força entre duas cargas pontuais q₁ e q₂, a uma distância r no vácuo, é
F = k q₁q₂ / r², com k = 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻² e ε₀ = 8,85 × 10⁻¹² C² N⁻¹ m⁻².
- A força age na linha que une as cargas.
- É uma lei do inverso do quadrado, igual à gravidade – mas pode repelir e também atrair, e entre dois prótons é cerca de 10³⁶ vezes mais forte.
- Num meio de constante dielétrica K, a força passa a ser F/K.
Forma vetorial: F₁₂ = k q₁q₂ r̂₂₁ / r², onde r̂₂₁ aponta de q₂ para q₁. A terceira lei de Newton vale: F₁₂ = −F₂₁.
1 coulomb é a carga que, colocada a 1 m de uma carga igual no vácuo, a repele com 9 × 10⁹ N – uma força enorme, por isso as cargas reais de laboratório são em µC ou nC.
Forças entre muitas cargas: o princípio da superposição
Quando há muitas cargas, cada par age como se as outras não existissem. A força resultante sobre uma carga é a soma vetorial das forças de todas as outras:
F₁ = F₁₂ + F₁₃ + F₁₄ + …
Como resolver
- Desenhe cada força como uma seta (repulsão = para longe, atração = para perto).
- Ache o valor de cada uma com a lei de Coulomb.
- Separe em partes x e y, some cada parte e depois junte: F = √(Fx² + Fy²).
A simetria economiza tempo: cargas iguais nos vértices de um quadrado ou de um triângulo equilátero dão força resultante zero no centro.
Distribuição contínua de carga
Num bastão, plano ou esfera carregados, a carga está espalhada, então usamos densidades:
- Linear λ = carga por comprimento (C/m) – um fio.
- Superficial σ = carga por área (C/m²) – um plano ou uma casca.
- Volumétrica ρ = carga por volume (C/m³) – uma esfera maciça.
Cortamos o corpo em pedacinhos dq = λdl, σdA ou ρdV, tratamos cada um como carga pontual e somamos (integramos) os campos: E = ∫ k dq r̂ / r². A lei de Gauss (abaixo) evita essa integral quando a forma é muito simétrica.
Campo elétrico de uma carga pontual
O campo elétrico num ponto é a força sobre uma pequena carga de prova positiva q₀ colocada ali, por unidade de carga: E = F / q₀. Unidade: N/C (o mesmo que V/m). É um vetor.
Para uma carga pontual q: E = kq / r², apontando para longe do + e em direção ao −. Quando você conhece E, a força sobre qualquer carga q é simplesmente F = qE.
A carga de prova precisa ser pequena para não empurrar as cargas da fonte para fora do lugar. O campo de várias cargas também se soma como vetores.
Linhas de campo elétrico
Uma linha de campo é uma curva cuja tangente, em cada ponto, mostra a direção de E.
- Elas começam nas cargas + e terminam nas cargas − (ou no infinito).
- Nunca se cruzam – num cruzamento E teria duas direções.
- Linhas mais próximas = campo mais forte.
- Não formam laços fechados na eletrostática.
- Chegam à superfície de um condutor a 90°.
Desenhos: um + sozinho (linhas saindo retas), um − sozinho (linhas entrando retas), + e − iguais (linhas se curvam do + para o −), duas cargas + iguais (as linhas se afastam, com um ponto neutro vazio no meio) e um campo uniforme (linhas paralelas e igualmente espaçadas).
Dipolo elétrico e seu campo
Um dipolo elétrico é um par +q e −q separado por uma pequena distância 2a. Seu momento de dipolo é p = q × 2a, um vetor que aponta do − para o +. Unidade: C m. A molécula de água é um dipolo natural.
Campo no eixo (de frente)
A uma distância r do centro, ao longo do eixo: E = 2kpr / (r² − a²)², que para r ≫ a vira E_axial = 2kp / r³, no sentido de p.
Campo na equatorial (de lado)
Na mediatriz (linha perpendicular): E = kp / (r² + a²)^{3/2}, que para r ≫ a vira E_eq = kp / r³, no sentido oposto a p.
Então, longe de um dipolo, E cai como 1/r³, mais rápido que numa carga única (1/r²), porque o + e o − quase se anulam. E E_axial = 2 × E_eq na mesma distância.
Ideia da dedução (axial)
A carga + está a uma distância r − a e a carga − a r + a. E = kq/(r − a)² − kq/(r + a)² = kq·4ar/(r² − a²)² = 2kpr/(r² − a²)².
Torque sobre um dipolo num campo uniforme
Num campo uniforme E, a ponta + sente qE no sentido de E e a ponta − sente qE no sentido oposto. A força resultante é 0, então o dipolo não sai do lugar. Mas as duas forças estão em retas diferentes e formam um binário:
τ = (qE)(2a senθ) = pE senθ, ou, em forma vetorial, τ = p × E.
- θ = 0°: τ = 0, equilíbrio estável (p ao longo de E).
- θ = 90°: τ = pE, o máximo.
- θ = 180°: τ = 0, mas instável.
Num campo não uniforme as duas forças são diferentes, então também há uma força resultante – por isso um pente carregado puxa papel neutro (os dipolos induzidos no papel estão num campo não uniforme).
Fluxo elétrico
O fluxo elétrico por uma superfície mede quantas linhas de campo passam por ela:
Φ = E · A = EA cosθ, onde θ é o ângulo entre E e a normal externa da área. Unidade: N m² C⁻¹ (ou V m). É um escalar.
- E perpendicular à superfície (θ = 0): Φ = EA, o máximo.
- E ao longo da superfície (θ = 90°): Φ = 0.
- Linhas que saem contam +, linhas que entram contam −.
Lei de Gauss e seus usos: fio, plano e casca esférica fina
Lei de Gauss: o fluxo total que sai de qualquer superfície fechada é igual à carga dentro dela dividida por ε₀: ∮E·dA = q_int / ε₀. Cargas fora da superfície dão fluxo líquido zero (toda linha que entra também sai).
Receita: escolha uma superfície fechada imaginária (uma superfície gaussiana) na qual E tenha o mesmo valor e seja paralelo ou perpendicular à superfície.
1. Fio reto infinitamente longo (carga λ por metro)
Cilindro de raio r e comprimento l. O fluxo passa só pela lateral curva: E(2πrl) = λl/ε₀ → E = λ / (2πε₀r), apontando radialmente para fora. E ∝ 1/r.
2. Plano infinito (σ por m²)
Pequeno cilindro atravessando o plano, com área de base A. Fluxo pelas duas bases: 2EA = σA/ε₀ → E = σ / (2ε₀). É igual em todas as distâncias.
3. Casca esférica fina (carga q, raio R)
Esfera de raio r. Fora (r > R): E(4πr²) = q/ε₀ → E = kq/r², como se toda a carga estivesse no centro. Dentro (r < R): nenhuma carga envolvida → E = 0. Na superfície: E = kq/R² = σ/ε₀.
A própria lei de Coulomb sai da lei de Gauss aplicada a uma esfera em volta de uma carga pontual.
Foco para a prova
As Unidades I e II juntas valem cerca de 16 pontos. Pedidos comuns: enunciar e demonstrar (campo axial/equatorial do dipolo, torque sobre um dipolo, E de fio/plano/casca com a lei de Gauss), desenhar o padrão das linhas de campo, um exercício de 2 a 3 pontos sobre força de Coulomb com superposição e uma questão de fluxo. Sempre desenhe a superfície gaussiana nas demonstrações.
Fórmulas e definições principais
- q = ne, e = 1,6 × 10⁻¹⁹ C
- F = k q₁q₂ / r², k = 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ N m² C⁻²
- F_res = F₁ + F₂ + … (soma vetorial)
- E = F / q₀; carga pontual E = kq / r²
- p = q × 2a; E_axial = 2kp/r³; E_equatorial = kp/r³
- τ = p × E, τ = pE senθ
- Φ = EA cosθ; ∮E·dA = q_int/ε₀
- Fio E = λ/(2πε₀r); plano E = σ/(2ε₀); casca E = kq/r² (fora), 0 (dentro)
Exemplos resolvidos
1. Quantos elétrons precisam ser retirados de um corpo neutro para ele ficar com +3,2 µC?
n = q/e = 3,2 × 10⁻⁶ / 1,6 × 10⁻¹⁹ = 2 × 10¹³ elétrons.
2. Duas cargas, +2 µC e −3 µC, estão a 30 cm de distância no ar. Ache a força.
F = 9 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶ × 3 × 10⁻⁶ / (0,3)² = 0,054/0,09 = 0,6 N, atrativa.
3. A força entre duas cargas é 16 N. A distância dobra e cada carga cai pela metade. Qual é a nova força?
F ∝ q₁q₂/r². Nova = 16 × (½ × ½) / 2² = 16 × ¼ / 4 = 1 N.
4. As cargas +1 µC em A e +4 µC em B estão a 3 m uma da outra. Em que ponto entre elas a força resultante sobre uma terceira carga é zero?
Seja x a distância do ponto até A. k(1)/x² = k(4)/(3 − x)² → (3 − x) = 2x → x = 1 m de A (a carga menor).
5. Três cargas de +2 µC estão nos vértices de um triângulo equilátero de lado 10 cm. Ache a força sobre uma delas.
Cada força = 9 × 10⁹ × (2 × 10⁻⁶)² / 0,01 = 3,6 N. O ângulo entre as duas forças = 60°. F = √(3,6² + 3,6² + 2 × 3,6² cos60°) = 3,6√3 ≈ 6,24 N, ao longo da bissetriz, para fora.
6. Um dipolo tem cargas de ±5 nC, separadas por 2 mm. Ache p e o campo a 10 cm dele, no eixo.
p = 5 × 10⁻⁹ × 2 × 10⁻³ = 10⁻¹¹ C m. E_axial = 2kp/r³ = 2 × 9 × 10⁹ × 10⁻¹¹ / 10⁻³ = 180 N/C, no sentido de p.
7. Um dipolo de momento 4 × 10⁻⁹ C m faz 30° com um campo uniforme de 5 × 10⁴ N/C. Ache o torque.
τ = pE senθ = 4 × 10⁻⁹ × 5 × 10⁴ × 0,5 = 1 × 10⁻⁴ N m.
8. Um quadrado de lado 10 cm está num campo uniforme de 200 N/C. O campo faz 60° com a normal. Ache o fluxo.
Φ = EA cosθ = 200 × 0,01 × 0,5 = 1 N m² C⁻¹.
9. Um fio longo tem λ = 2 µC/m. Ache E a 20 cm.
E = 2kλ/r = 2 × 9 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶ / 0,2 = 1,8 × 10⁵ N/C, radialmente para fora.
10. Uma casca de raio 10 cm tem +8 nC. Ache E a 5 cm e a 20 cm do centro.
A 5 cm (dentro): E = 0. A 20 cm: E = 9 × 10⁹ × 8 × 10⁻⁹ / 0,04 = 1800 N/C.
Erros comuns
- Esquecer de converter µC para C (× 10⁻⁶) e cm para m antes de usar a lei de Coulomb.
- Somar os valores das forças de várias cargas em vez de somá-las como vetores.
- Achar que o fluxo por uma superfície fechada depende das cargas de fora – cargas externas dão fluxo líquido zero (mas mudam E nos pontos da superfície).
- Misturar as fórmulas do dipolo: o campo axial é 2kp/r³, o equatorial é kp/r³, e a direção do dipolo vai do − para o +.