자기선속: 고리를 지나는 자기력선 세기
자기선속(Φ)은 어떤 면을 자기장이 얼마나 통과하는지를 나타내요. 고리를 지나가는 자기력선의 개수라고 생각하면 돼요.
Φ = B A cos θ. 여기서 B는 자기장, A는 고리의 넓이, θ는 B와 법선(고리 면에서 수직으로 뻗은 선) 사이의 각이에요. SI 단위: 웨버(Wb), 1 Wb = 1 T m².
고리가 자기장을 정면으로 마주 볼 때(θ = 0) 자기선속이 가장 크고, 고리가 옆으로 서 있을 때(θ = 90°) 0이에요.
패러데이의 유도 법칙
마이클 패러데이와 조지프 헨리는 변하는 자기선속이 기전력을 만든다는 것을 발견했어요. 아무리 센 자기장이라도 변하지 않으면 아무것도 만들지 못해요.
제1법칙
회로를 지나는 자기선속이 변할 때마다 기전력이 유도돼요. 회로가 닫혀 있으면 전류가 흘러요. 변화가 계속되는 동안에만 그래요.
제2법칙
유도 기전력의 크기는 자기선속의 변화율과 같아요. N번 감은 코일에서는 |ε| = N dΦ/dt예요.
자기선속을 바꾸는 방법은 세 가지예요. B를 바꾸기(자석 움직이기), A를 바꾸기(고리의 일부를 늘리거나 밀기), θ를 바꾸기(고리 돌리기).
유도 기전력과 유도 전류
기전력은 열린 코일에도 생겨요. 전류는 회로가 닫혀 있을 때만 흘러요: I = ε / R.
흐르는 전하량은 자기선속의 전체 변화량에만 달려 있고, 얼마나 빨리 변했는지와는 상관없어요: q = N ΔΦ / R. 천천히 밀어도, 빨리 밀어도 같은 전하량이 흘러요. 빨리 밀면 더 크고 짧게 흐를 뿐이에요.
운동 기전력
길이 l인 막대가 자기장 B 속에서 속도 v로 미끄러질 때(셋 모두 서로 직각), 막대는 1초마다 넓이 l v를 쓸고 지나가요. 그래서 ε = B l v예요. 자기력 qvB가 막대 속 자유 전자를 한쪽 끝으로 밀어내는 것으로 볼 수도 있어요.
맴돌이 전류
통짜 금속판을 지나는 자기선속이 변하면 판 안에 작은 소용돌이 모양 전류가 생기는데, 이것을 맴돌이 전류라고 해요. 금속을 뜨겁게 하고 움직임을 방해해요. 인덕션 레인지와 열차 브레이크에 쓰이고, 변압기에서는 얇은 판을 겹쳐서 이 전류를 줄여요.
렌츠 법칙: 전류는 어느 쪽으로 흐를까
렌츠 법칙: 유도 전류는 자기선속의 변화를 방해하는 방향으로 흘러요. 그래서 패러데이 법칙에 마이너스 부호가 있어요: ε = −N dΦ/dt.
자석의 N극이 다가오면 → 코일의 가까운 면이 N극이 돼요(자석을 밀어내요). 자석이 멀어지면 → 가까운 면이 S극이 돼요(자석을 끌어당겨요).
렌츠 법칙은 에너지 보존이에요. 이 방해하는 힘에 맞서 일을 해야 하고, 그 일이 전기 에너지가 돼요. 전류가 변화를 도와준다면 공짜로 에너지를 얻게 되는데, 그건 불가능해요.
곧게 움직이는 막대에는 플레밍의 오른손 법칙을 써요: 엄지 = 운동 방향, 검지 = 자기장, 중지 = 유도 전류.
자체 유도와 자체 인덕턴스(L)
코일의 전류가 변하면 그 코일 자신의 자기선속이 변하고, 같은 코일에 기전력이 생겨요. 이것이 자체 유도예요. 이 기전력은 전류의 변화를 방해해서 역기전력이라고 불러요.
N Φ = L I, ε = −L dI/dt. L은 자체 인덕턴스이고 단위는 헨리(H)예요. 1 H = 1 V s/A.
긴 솔레노이드에서는 L = μ₀ n² A l = μ₀ N² A / l이에요. 안에 철심을 넣으면 L이 μᵣ배가 돼요.
인덕터는 전류에 대한 관성처럼 작용해요. 자기장에 저장되는 에너지: U = ½ L I².
상호 유도와 상호 인덕턴스(M)
코일 1의 전류가 변하면 가까운 코일 2를 지나는 자기선속이 변하고, 코일 2에 기전력이 생겨요. 이것이 상호 유도예요.
N₂ Φ₂ = M I₁, ε₂ = −M dI₁/dt. 같은 축을 가진 긴 솔레노이드 두 개(안쪽 반지름 r₁, 길이 l)에서는 M = μ₀ n₁ n₂ π r₁² l이에요. 또한 M₁₂ = M₂₁이에요.
코일이 가깝고, 같은 철심에 감겨 있고, 같은 축을 공유할수록 M이 커요. 변압기와 무선 충전기는 상호 유도를 이용해요.
직접 해 보기: 간단한 실습
직접 해 보기: 3D에서 감은 수 N = 4로 맞추고 자석을 끌어 넣으며 "마지막 킥" 값을 적어 보세요. 이제 N = 16으로 바꾸고 같은 속도로 끌어 보세요. ε = −N dΦ/dt이므로 킥이 약 4배 커져요. 집에서는 작은 스피커나 장난감 모터에 LED를 연결하고 모터 축을 빠르게 돌리면 LED가 켜질 수 있어요. 여러분이 발전기를 돌리고 있는 거예요.
핵심 공식과 정의
- Φ = B A cos θ (단위 웨버, Wb)
- ε = −N dΦ/dt (패러데이 + 렌츠)
- 운동 기전력: ε = B l v
- 회로를 흐르는 전하량: q = N ΔΦ / R
- 회전하는 막대(길이 l, 각속도 ω): ε = ½ B ω l²
- 자체 유도: N Φ = L I, ε = −L dI/dt
- 솔레노이드: L = μ₀ N² A / l
- 상호 유도: ε₂ = −M dI₁/dt; M = μ₀ n₁ n₂ π r₁² l
- 인덕터의 에너지: U = ½ L I²
풀이 예제
1. 넓이 0.02 m²인 고리가 0.5 T의 자기장 속에 있어요. (a) 자기장이 법선과 나란할 때, (b) 법선과 60°일 때의 자기선속을 구하세요.
(a) Φ = BA cos 0 = 0.5 × 0.02 × 1 = 0.01 Wb. (b) Φ = 0.5 × 0.02 × cos 60° = 0.01 × 0.5 = 0.005 Wb.
2. 200번 감은 코일의 자기선속이 0.1 s 동안 4 mWb에서 1 mWb로 줄어요. 평균 유도 기전력을 구하세요.
ΔΦ = 1 − 4 = −3 mWb = −3 × 10⁻³ Wb. ε = −N ΔΦ/Δt = −200 × (−3 × 10⁻³)/0.1 = 6 V.
3. 길이 0.5 m인 막대가 0.3 T의 자기장에 수직으로 4 m/s로 움직여요. 막대는 저항 2 Ω인 회로의 일부예요. 기전력과 전류를 구하세요.
ε = B l v = 0.3 × 0.5 × 4 = 0.6 V. I = ε / R = 0.6 / 2 = 0.3 A.
4. L = 50 mH인 코일의 전류가 10 ms 동안 5 A에서 0으로 줄어요. 자체 유도 기전력을 구하세요.
ε = −L dI/dt = −0.05 × (0 − 5)/0.01 = +25 V. 이 기전력은 전류가 계속 흐르게 하려고 해요(줄어드는 것을 방해해요).
5. 감은 수 500, 길이 0.5 m, 단면적 4 × 10⁻⁴ m²인 공심 솔레노이드의 L을 구하세요. (μ₀ = 4π × 10⁻⁷)
L = μ₀ N² A / l = 4π × 10⁻⁷ × 250000 × 4 × 10⁻⁴ / 0.5 = 4π × 10⁻⁷ × 200 ≈ 2.51 × 10⁻⁴ H ≈ 0.25 mH.
6. 두 코일의 M = 1.5 H예요. 첫 번째 코일의 전류가 0.5 s 동안 0에서 20 A로 커져요. 두 번째 코일의 기전력과 그 코일의 자기선속 변화를 구하세요.
ε₂ = M dI₁/dt = 1.5 × 20 / 0.5 = 60 V. 자기선속 연결수의 변화 = M ΔI₁ = 1.5 × 20 = 30 Wb (turns).
7. 길이 1 m인 금속 막대가 한쪽 끝을 중심으로 20 rad/s로 돌아요. 0.2 T의 자기장이 회전축 방향이에요. 막대 양 끝 사이의 기전력을 구하세요.
ε = ½ B ω l² = 0.5 × 0.2 × 20 × 1² = 2 V.
8. 저항 5 Ω인 100번 감은 코일의 자기선속이 2 × 10⁻³ Wb만큼 변해요. 흐르는 전하량은 얼마일까요?
q = N ΔΦ / R = 100 × 2 × 10⁻³ / 5 = 0.04 C. 변화가 얼마나 빨리 일어나는지와는 상관없어요.
자주 하는 실수
- 코일 가까이에 센 자석이 가만히 있으면 전류가 생긴다고 생각하기. 자기선속의 변화만 기전력을 유도해요.
- ε = N dΦ/dt에서 N(감은 수)을 곱하는 것을 잊기.
- θ를 B와 고리 면 사이의 각으로 쓰기. Φ = BA cos θ에서 θ는 고리의 법선에서 잰 각이에요.
- 렌츠 법칙이 자기선속을 방해한다고 말하기. 방해하는 것은 자기선속의 변화예요. 자기선속이 줄어들면 유도 전류는 그것을 유지하려고 해요.