磁束:輪を通る磁力線を数える
磁束(Φ)は、ある面をどれだけ磁場が通りぬけるかを表します。輪を通る磁力線の本数だと考えるとよいでしょう。
Φ = B A cos θ。B は磁場、A は輪の面積、θ は B と法線(輪の面からまっすぐ立つ線)のあいだの角です。SI単位はウェーバー(Wb)で、1 Wb = 1 T m² です。
輪が磁場に正面から向いているとき(θ = 0)に磁束は最大になり、輪が真横を向くとき(θ = 90°)に0になります。
ファラデーの電磁誘導の法則
マイケル・ファラデーとジョセフ・ヘンリーは、磁束が変化すると起電力が生じることを発見しました。どんなに強くても、変化しない磁場は何も生みません。
第1法則
回路を貫く磁束が変化すると、起電力が誘導されます。回路が閉じていれば電流が流れます。これは変化が続いているあいだだけです。
第2法則
誘導起電力の大きさは磁束の変化の速さに等しく、N 回巻きのコイルでは |ε| = N dΦ/dt です。
磁束を変える方法は3つあります。B を変える(磁石を動かす)、A を変える(輪を引きのばす、または一部をスライドさせる)、θ を変える(輪を回す)です。
誘導起電力と誘導電流
起電力は、開いたコイルにも生じます。電流が流れるのは回路が閉じているときだけで、I = ε / R です。
流れる電気量は、磁束の全体の変化だけで決まり、変化の速さには関係しません。q = N ΔΦ / R。ゆっくり押しても速く押しても同じ電気量が流れます。速く押すと、より大きく短いパルスで流れます。
運動起電力
長さ l の棒が、磁場 B の中を(3つとも直角に)速さ v で動くと、1秒ごとに面積 l v をなぞります。だから ε = B l v です。磁気力 qvB が棒の中の自由電子を一方の端へ押すと考えることもできます。
渦電流
金属の板を貫く磁束が変化すると、板の中に小さな渦巻き状の電流が生じます。これを渦電流といいます。金属を熱し、動きをじゃまします。IHクッキングヒーターや電車のブレーキに使われます。変圧器では、うすい板を重ねた鉄心にして渦電流を減らします。
レンツの法則:電流はどちらに流れるか
レンツの法則:誘導電流は、それを生んだ磁束の変化をじゃまする向きに流れます。だからファラデーの法則にはマイナス符号がつきます。ε = −N dΦ/dt。
磁石のN極が近づく → コイルの近い面はN極になる(磁石を押しもどす)。磁石が遠ざかる → コイルの近い面はS極になる(磁石を引きもどす)。
レンツの法則はエネルギー保存です。この逆らう力にさからって仕事をしなければならず、その仕事が電気エネルギーになります。もし電流が変化を助けるなら、エネルギーをただで得られてしまいますが、それはありえません。
まっすぐ動く棒にはフレミングの右手の法則を使います。親指=運動、人さし指=磁場、中指=誘導電流です。
自己誘導と自己インダクタンス(L)
コイルの電流が変わると、そのコイル自身の磁束が変わるので、同じコイルに起電力が生じます。これが自己誘導です。この起電力は電流の変化をじゃまするので、逆起電力とよばれます。
N Φ = L I、ε = −L dI/dt。L は自己インダクタンスで、単位はヘンリー(H)です。1 H = 1 V s/A。
長いソレノイドでは L = μ₀ n² A l = μ₀ N² A / l です。中に鉄心を入れると L は μᵣ 倍になります。
インダクタは電流にとっての慣性のようなものです。磁場にたくわえられるエネルギーは U = ½ L I² です。
相互誘導と相互インダクタンス(M)
コイル1の電流が変わると、近くのコイル2を貫く磁束が変わり、コイル2に起電力が生じます。これが相互誘導です。
N₂ Φ₂ = M I₁、ε₂ = −M dI₁/dt。同じ軸の2つの長いソレノイド(内側の半径 r₁、長さ l)では M = μ₀ n₁ n₂ π r₁² l です。また M₁₂ = M₂₁ です。
コイルが近いほど、同じ鉄心に巻くほど、軸がそろっているほど、M は大きくなります。変圧器やワイヤレス充電器は相互誘導を使っています。
やってみよう:実験
やってみよう:3Dで巻き数 N = 4 にして、磁石をドラッグして入れます。「Last kick」の値をメモしましょう。次に N = 16 にして、同じ速さでドラッグします。ふれは約4倍になります。ε = −N dΦ/dt だからです。家でもできます。小さなスピーカーやおもちゃのモーターにLEDをつなぎ、モーターの軸を速く回すと、LEDが光ることがあります。あなたは発電機を動かしているのです。
重要な公式と用語
- Φ = B A cos θ (単位 ウェーバー、Wb)
- ε = −N dΦ/dt (ファラデー + レンツ)
- 運動起電力: ε = B l v
- 回路を流れる電気量: q = N ΔΦ / R
- 回転する棒(長さ l、角速度 ω): ε = ½ B ω l²
- 自己誘導: N Φ = L I、ε = −L dI/dt
- ソレノイド: L = μ₀ N² A / l
- 相互誘導: ε₂ = −M dI₁/dt; M = μ₀ n₁ n₂ π r₁² l
- インダクタのエネルギー: U = ½ L I²
例題
1. 面積 0.02 m² の輪が 0.5 T の磁場の中にあります。(a) 磁場が法線に沿っているとき、(b) 法線と 60° の角をなすときの磁束を求めなさい。
(a) Φ = BA cos 0 = 0.5 × 0.02 × 1 = 0.01 Wb。(b) Φ = 0.5 × 0.02 × cos 60° = 0.01 × 0.5 = 0.005 Wb。
2. 200回巻きのコイルを貫く磁束が 0.1 s で 4 mWb から 1 mWb に減りました。平均の誘導起電力を求めなさい。
ΔΦ = 1 − 4 = −3 mWb = −3 × 10⁻³ Wb。ε = −N ΔΦ/Δt = −200 × (−3 × 10⁻³)/0.1 = 6 V。
3. 長さ 0.5 m の棒が、0.3 T の磁場に直角に 4 m/s で動きます。棒は抵抗 2 Ω の回路の一部です。起電力と電流を求めなさい。
ε = B l v = 0.3 × 0.5 × 4 = 0.6 V。I = ε / R = 0.6 / 2 = 0.3 A。
4. L = 50 mH のコイルの電流が 10 ms で 5 A から 0 に下がりました。自己誘導起電力を求めなさい。
ε = −L dI/dt = −0.05 × (0 − 5)/0.01 = +25 V。この起電力は電流を流し続けようとします(減少をじゃまします)。
5. 巻き数 500、長さ 0.5 m、断面積 4 × 10⁻⁴ m² の空芯ソレノイドの L を求めなさい。(μ₀ = 4π × 10⁻⁷)
L = μ₀ N² A / l = 4π × 10⁻⁷ × 250000 × 4 × 10⁻⁴ / 0.5 = 4π × 10⁻⁷ × 200 ≈ 2.51 × 10⁻⁴ H ≈ 0.25 mH。
6. 2つのコイルの M = 1.5 H です。最初のコイルの電流が 0.5 s で 0 から 20 A に増えます。2つ目のコイルの起電力と、それを貫く磁束の変化を求めなさい。
ε₂ = M dI₁/dt = 1.5 × 20 / 0.5 = 60 V。磁束鎖交数の変化 = M ΔI₁ = 1.5 × 20 = 30 Wb(巻き数をかけた値)。
7. 長さ 1 m の金属棒が、回転軸に沿った 0.2 T の磁場の中で、一端を中心に 20 rad/s で回ります。両端のあいだの起電力を求めなさい。
ε = ½ B ω l² = 0.5 × 0.2 × 20 × 1² = 2 V。
8. 抵抗 5 Ω の 100回巻きコイルで、磁束が 2 × 10⁻³ Wb 変化しました。流れた電気量はいくらですか。
q = N ΔΦ / R = 100 × 2 × 10⁻³ / 5 = 0.04 C。変化の速さには関係しません。
よくある間違い
- 強い磁石を静かにコイルの近くに置けば電流が流れると考える。起電力を生むのは磁束の「変化」だけです。
- ε = N dΦ/dt で N(巻き数)をかけ忘れる。
- θ を B と輪の面のあいだの角として使う。Φ = BA cos θ の θ は、輪の法線から測った角です。
- レンツの法則は磁束に逆らう、と言う。逆らうのは磁束の「変化」です。磁束が減っているなら、誘導電流はそれを保とうとします。