Magnetische flux: veldlijnen tellen door een lus
Magnetische flux (Φ) geeft aan hoeveel magnetisch veld door een oppervlak gaat. Zie het als het aantal veldlijnen dat door een lus gaat.
Φ = B A cos θ. Hierbij is B de veldsterkte, A de oppervlakte van de lus en θ de hoek tussen B en de normaal (de lijn die recht uit het vlak van de lus steekt). SI-eenheid: weber (Wb); 1 Wb = 1 T m².
De flux is het grootst als de lus recht naar het veld kijkt (θ = 0) en nul als de lus er zijdelings in staat (θ = 90°).
De wetten van Faraday over inductie
Michael Faraday en Joseph Henry ontdekten dat een veranderende flux een emk maakt. Een constant veld, hoe sterk ook, maakt niets.
Eerste wet
Als de flux door een kring verandert, ontstaat er een emk. Is de kring gesloten, dan gaat er stroom lopen. Dit duurt alleen zolang de verandering duurt.
Tweede wet
De grootte van de geïnduceerde emk is gelijk aan de snelheid waarmee de flux verandert: |ε| = N dΦ/dt voor een spoel met N windingen.
Je kunt de flux op drie manieren veranderen: B veranderen (een magneet bewegen), A veranderen (de lus uitrekken of een stuk ervan verschuiven) of θ veranderen (de lus draaien).
Geïnduceerde emk en geïnduceerde stroom
De emk ontstaat ook in een open spoel. Er loopt alleen stroom als de kring gesloten is: I = ε / R.
De lading die stroomt hangt alleen af van de totale verandering van de flux, niet van de snelheid: q = N ΔΦ / R. Een langzame en een snelle duw sturen evenveel lading door; de snelle doet dat in een grotere, kortere stroomstoot.
Bewegings-emk
Een staaf met lengte l die met snelheid v door een veld B schuift (alle drie haaks op elkaar) bestrijkt elke seconde een oppervlak l v. Dus ε = B l v. Je kunt het ook zien als de magnetische kracht qvB die de vrije elektronen naar één kant van de staaf duwt.
Wervelstromen
Een veranderende flux door een massieve metalen plaat maakt kleine draaiende stroompjes in het metaal, de wervelstromen. Ze verwarmen het metaal en werken de beweging tegen. Ze worden gebruikt in inductiekookplaten en treinremmen; in transformatoren beperk je ze met dunne, gelaagde platen.
De wet van Lenz: welke kant de stroom op gaat
Wet van Lenz: de geïnduceerde stroom loopt in de richting die de verandering van de flux tegenwerkt die hem veroorzaakte. Daarom staat er een minteken in de wet van Faraday: ε = −N dΦ/dt.
Noordpool van de magneet komt eraan → de dichtstbijzijnde kant van de spoel wordt een noordpool (duwt de magneet terug). Magneet gaat weg → die kant wordt een zuidpool (trekt de magneet terug).
De wet van Lenz is behoud van energie. Je moet arbeid verrichten tegen die tegenwerkende kracht, en die arbeid wordt elektrische energie. Als de stroom de verandering zou helpen, kreeg je gratis energie, en dat kan niet.
Voor een rechte bewegende staaf gebruik je de rechterhandregel van Fleming: duim = beweging, wijsvinger = veld, middelvinger = geïnduceerde stroom.
Zelfinductie en zelfinductiecoëfficiënt (L)
Als de stroom in een spoel verandert, verandert de eigen flux, en ontstaat er een emk in dezelfde spoel. Dit is zelfinductie. Deze emk werkt de verandering van de stroom tegen en heet daarom een tegen-emk.
N Φ = L I en ε = −L dI/dt. L is de zelfinductiecoëfficiënt; eenheid henry (H). 1 H = 1 V s/A.
Voor een lange solenoïde: L = μ₀ n² A l = μ₀ N² A / l. Een ijzeren kern erin maakt L een factor μᵣ groter.
Een spoel werkt als traagheid voor stroom. Energie opgeslagen in het magnetisch veld: U = ½ L I².
Wederzijdse inductie en wederzijdse inductiecoëfficiënt (M)
Als de stroom in spoel 1 verandert, verandert de flux door een spoel 2 in de buurt, en ontstaat er een emk in spoel 2. Dit is wederzijdse inductie.
N₂ Φ₂ = M I₁ en ε₂ = −M dI₁/dt. Voor twee lange coaxiale solenoïden (binnenstraal r₁, lengte l): M = μ₀ n₁ n₂ π r₁² l. Ook geldt M₁₂ = M₂₁.
M is groter als de spoelen dicht bij elkaar zitten, op dezelfde ijzeren kern zijn gewikkeld en dezelfde as delen. Transformatoren en draadloze opladers gebruiken wederzijdse inductie.
Probeer zelf: een proefje
Probeer het: stel in de 3D het aantal windingen N = 4 in en sleep de magneet naar binnen; noteer de "Last kick". Zet nu N = 16 en sleep even snel. De uitslag is ongeveer 4 keer groter, want ε = −N dΦ/dt. Thuis: een kleine luidspreker of een speelgoedmotortje verbonden met een led kan de led laten branden als je de as van de motor snel draait. Je bent dan een generator aan het laten draaien.
Belangrijke formules en begrippen
- Φ = B A cos θ (eenheid weber, Wb)
- ε = −N dΦ/dt (Faraday + Lenz)
- Bewegings-emk: ε = B l v
- Lading door de kring: q = N ΔΦ / R
- Draaiende staaf (lengte l, hoeksnelheid ω): ε = ½ B ω l²
- Zelfinductie: N Φ = L I, ε = −L dI/dt
- Solenoïde: L = μ₀ N² A / l
- Wederzijdse inductie: ε₂ = −M dI₁/dt; M = μ₀ n₁ n₂ π r₁² l
- Energie in een spoel: U = ½ L I²
Uitgewerkte voorbeelden
1. Een lus met oppervlakte 0.02 m² ligt in een veld van 0.5 T. Bereken de flux als (a) het veld langs de normaal staat, (b) onder 60° met de normaal.
(a) Φ = BA cos 0 = 0.5 × 0.02 × 1 = 0.01 Wb. (b) Φ = 0.5 × 0.02 × cos 60° = 0.01 × 0.5 = 0.005 Wb.
2. De flux door een spoel van 200 windingen daalt van 4 mWb naar 1 mWb in 0.1 s. Bereken de gemiddelde geïnduceerde emk.
ΔΦ = 1 − 4 = −3 mWb = −3 × 10⁻³ Wb. ε = −N ΔΦ/Δt = −200 × (−3 × 10⁻³)/0.1 = 6 V.
3. Een staaf van 0.5 m beweegt met 4 m/s haaks op een veld van 0.3 T. De staaf maakt deel uit van een kring met weerstand 2 Ω. Bereken de emk en de stroom.
ε = B l v = 0.3 × 0.5 × 4 = 0.6 V. I = ε / R = 0.6 / 2 = 0.3 A.
4. De stroom in een spoel met L = 50 mH daalt in 10 ms van 5 A naar 0. Bereken de zelfgeïnduceerde emk.
ε = −L dI/dt = −0.05 × (0 − 5)/0.01 = +25 V. De emk probeert de stroom te laten doorlopen (hij werkt de daling tegen).
5. Bereken L van een solenoïde met luchtkern, 500 windingen, lengte 0.5 m en oppervlakte 4 × 10⁻⁴ m². (μ₀ = 4π × 10⁻⁷)
L = μ₀ N² A / l = 4π × 10⁻⁷ × 250000 × 4 × 10⁻⁴ / 0.5 = 4π × 10⁻⁷ × 200 ≈ 2.51 × 10⁻⁴ H ≈ 0.25 mH.
6. Twee spoelen hebben M = 1.5 H. De stroom in de eerste stijgt in 0.5 s van 0 naar 20 A. Bereken de emk in de tweede spoel en de verandering van de flux erdoor.
ε₂ = M dI₁/dt = 1.5 × 20 / 0.5 = 60 V. Verandering van de fluxkoppeling = M ΔI₁ = 1.5 × 20 = 30 Wb (windingen).
7. Een metalen staaf van 1 m draait met 20 rad/s om één uiteinde in een veld van 0.2 T langs de draaias. Bereken de emk tussen de uiteinden.
ε = ½ B ω l² = 0.5 × 0.2 × 20 × 1² = 2 V.
8. Bij een spoel van 100 windingen en weerstand 5 Ω verandert de flux met 2 × 10⁻³ Wb. Hoeveel lading stroomt er?
q = N ΔΦ / R = 100 × 2 × 10⁻³ / 5 = 0.04 C. Het hangt niet af van hoe snel de verandering gaat.
Veelgemaakte fouten
- Denken dat een sterke, stilstaande magneet bij een spoel stroom geeft. Alleen een VERANDERING van de flux induceert een emk.
- Vergeten te vermenigvuldigen met N (aantal windingen) in ε = N dΦ/dt.
- θ gebruiken als de hoek tussen B en het vlak van de lus. In Φ = BA cos θ meet je θ vanaf de normaal van de lus.
- Zeggen dat de wet van Lenz de flux tegenwerkt. Hij werkt de VERANDERING van de flux tegen; als de flux daalt, probeert de geïnduceerde stroom hem op peil te houden.