स्प्रिंग बल और बल नियतांक
स्प्रिंग को x खींचो या दबाओ, वह F = −kx से वापस धकेलती है (हुक का नियम, छोटे x के लिए)। माइनस = बल खिंचाव के उल्टा।
k = बल नियतांक या स्प्रिंग नियतांक: हर मीटर खिंचाव पर लगने वाला बल। मात्रक: N/m। बड़ा k = कड़ी स्प्रिंग।
न्यूटन का दूसरा नियम: ma = −kx, तो a = −(k/m) x। यह SHM है, ω² = k/m।
T = 2π√(m/k), f = (1/2π)√(k/m)।
स्प्रिंगों का संयोजन
- श्रेणी (एक के बाद एक): 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ (नरम)।
- समांतर (साथ-साथ): k = k₁ + k₂ (कड़ी)।
- स्प्रिंग को n बराबर टुकड़ों में काटो तो हर टुकड़ा n गुना कड़ा (k′ = nk)।
ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग
ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग पर द्रव्यमान लटकाओ। वह d खिंचती है जब तक kd = mg, तो k = mg/d। इस नई विराम स्थिति के आसपास भी वही T = 2π√(m/k) से SHM होती है। गुरुत्व सिर्फ़ बीच की जगह खिसकाता है, आवर्तकाल नहीं बदलता। साथ ही T = 2π√(d/g)।
सरल लोलक और उसका आवर्तकाल
सरल लोलक = हल्के, न खिंचने वाले धागे (लंबाई L, गोलक के केंद्र तक) पर छोटा भारी गोलक।
इसे कोण θ तक हटाओ। गुरुत्व mg का एक भाग mg sinθ चाप के साथ वापस खींचता है। छोटे कोण (लगभग 10° से कम) पर sinθ ≈ θ = x/L, तो
F ≈ −(mg/L) x → a = −(g/L) x।
यह SHM है, ω² = g/L, इसलिए T = 2π√(L/g)।
- T गोलक के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं (m कट जाता है)।
- छोटे झूलों में T आयाम पर निर्भर नहीं (समकालिकता)।
- T ∝ √L और T ∝ 1/√g।
सेकंड लोलक का T = 2 s; पृथ्वी पर उसकी लंबाई लगभग 0.99 m।
करके देखो: घर पर g निकालो
1.00 m धागे पर छोटी भारी चीज़ लटकाओ। थोड़ा हटाओ (हथेली जितना) और 20 झूलों का समय लो। मान लो 40.1 s आया, तो T = 2.005 s। g = 4π²L/T² = 4 × 9.87 × 1.00 / 4.02 ≈ 9.8 m/s²। अब 0.25 m धागे से दोहराओ: पहले अंदाज़ा लगाओ (2.0 s का आधा), फिर जाँचो। 3D के चरण 5 में L स्लाइडर से भी यही करो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- F = −kx (k in N/m)
- T = 2π√(m/k), f = (1/2π)√(k/m)
- Series: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂; Parallel: k = k₁ + k₂
- Vertical spring: k = mg/d, T = 2π√(d/g)
- Simple pendulum: T = 2π√(L/g)
हल किए गए उदाहरण
1. 10 N बल से स्प्रिंग 5 cm खिंचती है। k निकालो।
k = F/x = 10/0.05 = 200 N/m।
2. 0.5 kg गुटका k = 50 N/m की स्प्रिंग से बँधा है। T और f निकालो।
T = 2π√(0.5/50) = 2π × 0.1 = 0.628 s। f ≈ 1.59 Hz।
3. स्प्रिंग पर द्रव्यमान 4 गुना किया। T पर क्या असर?
T ∝ √m, इसलिए T, √4 = 2 गुना हो जाता है।
4. 100 N/m की दो स्प्रिंगें 1 kg द्रव्यमान को (a) श्रेणी, (b) समांतर में थामती हैं। T निकालो।
(a) k = 50 N/m, T = 2π√(1/50) ≈ 0.889 s। (b) k = 200 N/m, T ≈ 0.444 s।
5. ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग पर द्रव्यमान लटकाने से वह 2.5 cm खिंचती है। ऊपर-नीचे दोलन का आवर्तकाल (g = 9.8)?
T = 2π√(d/g) = 2π√(0.025/9.8) ≈ 0.317 s।
6. 1 m लंबे सरल लोलक का आवर्तकाल निकालो (g = 9.8 m/s²)।
T = 2π√(1/9.8) = 2π × 0.319 ≈ 2.01 s।
7. g = 9.8 m/s² पर सेकंड लोलक (T = 2 s) की लंबाई?
L = gT²/4π² = 9.8 × 4/39.48 ≈ 0.993 m।
8. पृथ्वी पर T = 2 s वाला लोलक चाँद पर (g पृथ्वी का 1/6) कितना T देगा?
T ∝ 1/√g, तो T = 2 × √6 ≈ 4.9 s।
आम गलतियाँ
- मानना कि भारी गोलक तेज़ झूलता है। लोलक में m कट जाता है; सिर्फ़ L और g मायने रखते हैं।
- बड़े झूलों पर T = 2π√(L/g) लगाना। यह सिर्फ़ छोटे कोणों पर सही है (sinθ ≈ θ)।
- श्रेणी की स्प्रिंगों को श्रेणी के प्रतिरोधों की तरह जोड़ना। स्प्रिंग श्रेणी में 1/k जुड़ता है।
- L को सिर्फ़ हुक तक नापना। L आधार बिंदु से गोलक के केंद्र तक होती है।