गोलीय सतह पर अपवर्तन
R त्रिज्या वाली एक घुमावदार काँच की सतह माध्यम n₁ (जहाँ वस्तु है) को माध्यम n₂ से अलग करती है। अक्ष पर बिंदु वस्तु O से एक किरण अक्ष के साथ और एक सतह के बिंदु N पर जाती है। उपाक्षीय किरणों के लिए कोण छोटे हैं, इसलिए tan θ ≈ θ ≈ sin θ।
चरण 1: कोण
ON, NC और NI अक्ष से α, β, γ कोण बनाते हैं (C वक्रता केंद्र, I प्रतिबिंब)। त्रिभुजों से: i = α + γ और r = γ − β।
चरण 2: छोटे कोणों के लिए स्नेल नियम
n₁ i = n₂ r, यानी n₁(α + γ) = n₂(γ − β)।
चरण 3: दूरियाँ रखें
α ≈ MN/OM, γ ≈ MN/MC, β ≈ MN/MI। MN कटाएँ, चिह्न लगाएँ (OM = −u, MC = +R, MI = +v):
n₂/v − n₁/u = (n₂ − n₁)/R
यह एक सूत्र उत्तल-अवतल सतह और वास्तविक-आभासी प्रतिबिंब सब पर लागू है, बस चिह्न सही हों।
लेंस मेकर सूत्र
हवा में रखे पतले लेंस (अपवर्तनांक n) की दो सतहों की त्रिज्याएँ R₁ और R₂ हैं।
चरण 1: पहली सतह
प्रकाश हवा (1) से काँच (n) में जाता है और v₁ पर प्रतिबिंब I₁ बनाता: n/v₁ − 1/u = (n − 1)/R₁।
चरण 2: दूसरी सतह
I₁ दूसरी सतह के लिए वस्तु है, जहाँ प्रकाश काँच (n) से हवा (1) में जाता है। पतले लेंस में मोटाई नगण्य: 1/v − n/v₁ = (1 − n)/R₂।
चरण 3: जोड़ें
1/v − 1/u = (n − 1)(1/R₁ − 1/R₂)।
चरण 4: वस्तु अनंत पर
u = ∞ हो तो प्रतिबिंब फोकस पर, v = f:
1/f = (n − 1)(1/R₁ − 1/R₂)
द्वि-उत्तल लेंस में R₁ धनात्मक और R₂ ऋणात्मक, इसलिए f धनात्मक। लेंस n_m अपवर्तनांक वाले द्रव में हो तो n की जगह n/n_m लें। n = n_m हो तो लेंस प्रकाश को मोड़ना ही बंद कर देता है।
पतले लेंस का सूत्र
लेंस मेकर का परिणाम ऊपर के चरण 3 में रखने से पतले लेंस का सूत्र मिलता है:
1/v − 1/u = 1/f
दर्पण जैसी ही कार्तीय चिह्न परिपाटी लें, दूरियाँ प्रकाशिक केंद्र O से। उत्तल (अभिसारी) लेंस की f धनात्मक; अवतल (अपसारी) की ऋणात्मक। वास्तविक प्रतिबिंब दूसरी ओर (v धनात्मक); आभासी प्रतिबिंब वस्तु की ओर (v ऋणात्मक)।
लेंस द्वारा आवर्धन
m = h′/h = v/u (लेंस में ऋण चिह्न नहीं, दर्पण से अलग)।
- m ऋणात्मक → वास्तविक और उल्टा।
- m धनात्मक → आभासी और सीधा।
अन्य रूप: m = f/(f + u) = (f − v)/f।
लेंस की क्षमता
लेंस की क्षमता P बताती है कि वह प्रकाश को कितना मोड़ता है: P = 1/f, f मीटर में। इसका मात्रक डायोप्टर (D) है: 1 D = 1 m⁻¹। उत्तल लेंस की क्षमता धनात्मक, अवतल की ऋणात्मक। 25 सेमी फोकस दूरी वाले लेंस की P = 1/0.25 = +4 D।
लेंस मेकर सूत्र से P = (n − 1)(1/R₁ − 1/R₂): अधिक घुमावदार सतह और बड़ा n, अधिक क्षमता।
संपर्क में रखे पतले लेंस
लेंस A (f₁) को लेंस B (f₂) से सटाएँ। अकेला A, v₁ पर प्रतिबिंब बनाता: 1/v₁ − 1/u = 1/f₁। यह B के लिए वस्तु है: 1/v − 1/v₁ = 1/f₂। दोनों जोड़ें:
1/v − 1/u = 1/f₁ + 1/f₂, यानी जोड़ी एक लेंस की तरह है जिसकी 1/F = 1/f₁ + 1/f₂ और P = P₁ + P₂।
कुल आवर्धन गुणनफल है: m = m₁ × m₂। कैमरा और सूक्ष्मदर्शी इसी तरह लेंस जोड़कर मनचाही क्षमता पाते हैं और रंगीन धुंधलापन घटाते हैं।
करके देखें: सूरज से f नापें
आवर्धक लेंस लेकर बाहर जाएँ। नीचे कागज़ रखें और लेंस ऊपर-नीचे करें जब तक सूरज का धब्बा सबसे छोटा और चमकीला न हो। (सूरज को सीधे न देखें और कागज़ पर देर तक न रखें।) लेंस से कागज़ की दूरी f है। क्षमता निकालें: P = 1/f (मीटर में)। फिर लेंस छपे अक्षरों के पास रखें: अक्षर बड़े और सीधे दिखते हैं, वस्तु F के अंदर है। 3D में स्लाइडर से जाँचें।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- n₂/v − n₁/u = (n₂ − n₁)/R
- 1/f = (n − 1)(1/R₁ − 1/R₂)
- 1/v − 1/u = 1/f
- m = h′/h = v/u
- P = 1/f (f मीटर में), मात्रक डायोप्टर D
- संपर्क में लेंस: 1/F = 1/f₁ + 1/f₂, P = P₁ + P₂, m = m₁m₂
हल किए गए उदाहरण
1. द्वि-उत्तल लेंस (n = 1.5) की दोनों त्रिज्याएँ 20 सेमी हैं। फोकस दूरी बताएँ।
चरण 1: R₁ = +20, R₂ = −20। चरण 2: 1/f = 0.5 × (1/20 + 1/20) = 0.05। चरण 3: f = 20 सेमी।
2. 20 सेमी फोकस दूरी वाले उत्तल लेंस से 30 सेमी दूर वस्तु है। प्रतिबिंब की स्थिति, आवर्धन और प्रकृति बताएँ।
चरण 1: u = −30, f = +20। चरण 2: 1/v = 1/20 − 1/30 = 1/60। चरण 3: v = +60 सेमी। चरण 4: m = 60/−30 = −2। वास्तविक, उल्टा, दो गुना बड़ा, दूसरी ओर 60 सेमी पर।
3. f = 15 सेमी वाले उत्तल लेंस से 10 सेमी दूर वस्तु है। प्रतिबिंब बताएँ।
चरण 1: u = −10, f = +15। चरण 2: 1/v = 1/15 − 1/10 = −1/30। चरण 3: v = −30 सेमी। चरण 4: m = +3। आभासी, सीधा, 3 गुना बड़ा, वस्तु की ओर।
4. अवतल लेंस की f = 20 सेमी है। वस्तु 20 सेमी दूर है। प्रतिबिंब और क्षमता बताएँ।
चरण 1: u = −20, f = −20। चरण 2: 1/v = −1/20 − 1/20 = −1/10, v = −10 सेमी। चरण 3: m = +0.5। चरण 4: P = 1/(−0.2) = −5 D। आभासी, सीधा, आधा आकार।
5. −50 सेमी फोकस दूरी वाले लेंस की क्षमता बताएँ, और यह कौन-सा लेंस है?
चरण 1: f = −0.5 मी। चरण 2: P = −2 D। चरण 3: ऋणात्मक क्षमता → अवतल (अपसारी) लेंस।
6. +5 D और −2 D क्षमता वाले दो पतले लेंस सटे हैं। संयोजन की फोकस दूरी बताएँ।
चरण 1: P = +3 D। चरण 2: F = 1/3 मी ≈ 33.3 सेमी। यह अभिसारी लेंस जैसा है।
7. काँच के लेंस (n = 1.5) की हवा में f = 20 सेमी है। पानी (n = 4/3) में इसकी फोकस दूरी?
चरण 1: हवा में 1/20 = 0.5 K, K = 0.1। चरण 2: पानी में n_rel = 1.5/(4/3) = 1.125: 1/f′ = 0.125 × 0.1 = 0.0125। चरण 3: f′ = 80 सेमी। पानी में लेंस 4 गुना कमज़ोर।
8. काँच (n = 1.5, R = 10 सेमी) की उत्तल सतह के सामने हवा में 30 सेमी पर बिंदु वस्तु है। काँच के अंदर प्रतिबिंब कहाँ?
चरण 1: n₁ = 1, n₂ = 1.5, u = −30, R = +10। चरण 2: 1.5/v + 1/30 = 0.05। चरण 3: 1.5/v = 0.0167। चरण 4: v = 90 सेमी, काँच के अंदर (वास्तविक)।
9. समतल-उत्तल लेंस (n = 1.5) की क्षमता +2 D चाहिए। घुमावदार सतह की त्रिज्या कितनी हो?
चरण 1: समतल सतह R₂ = ∞, 1/f = (n − 1)/R₁। चरण 2: 2 = 0.5/R₁। चरण 3: R₁ = 0.25 मी = 25 सेमी।
आम गलतियाँ
- लेंस के लिए दर्पण सूत्र 1/v + 1/u = 1/f लगाना। लेंस के लिए 1/v − 1/u = 1/f है।
- P = 1/f में f को सेमी में रखना। डायोप्टर के लिए f मीटर में चाहिए (या P = 100/f, f सेमी में)।
- द्वि-उत्तल लेंस की दोनों त्रिज्याएँ धनात्मक लेना। चिह्न परिपाटी से R₁ = +R, R₂ = −R।
- सटे लेंसों की फोकस दूरियाँ जोड़ना। क्षमताएँ (या 1/f) जुड़ती हैं, f नहीं।