परावर्तन और गोलीय दर्पण
परावर्तन का मतलब है प्रकाश का किसी सतह से टकराकर लौटना। इसके दो नियम हैं। (1) आपतन कोण = परावर्तन कोण, दोनों अभिलंब (सतह पर लंब रेखा) से नापे जाते हैं। (2) आपतित किरण, परावर्तित किरण और अभिलंब एक ही तल में होते हैं।
गोलीय दर्पण एक खोखले चमकदार गोले का हिस्सा है। अंदर की सतह चमकती हो तो अवतल (कटोरा), बाहर की सतह चमकती हो तो उत्तल (उभार)।
- ध्रुव P: दर्पण का बीच का बिंदु।
- वक्रता केंद्र C: गोले का केंद्र।
- वक्रता त्रिज्या R: दूरी PC।
- मुख्य अक्ष: P और C से जाने वाली रेखा।
- फोकस F: जहाँ अक्ष के समांतर किरणें मिलती हैं (अवतल) या जहाँ से फैलती लगती हैं (उत्तल)।
- फोकस दूरी f: दूरी PF।
f = R/2 क्यों?
अक्ष के समांतर एक किरण दर्पण के बिंदु M पर टकराती है। रेखा CM वहाँ का अभिलंब है (त्रिज्या हमेशा गोले पर लंब होती है)। आपतन कोण θ मानें। परावर्तित किरण भी CM से θ बनाती है और अक्ष को F पर काटती है।
आपतित किरण अक्ष के समांतर है, इसलिए कोण MCP भी θ है। तो त्रिभुज MCF के दो कोण θ हैं, यानी FM = FC। छोटे दर्पण में (अक्ष के पास की किरणें, जिन्हें उपाक्षीय किरणें कहते हैं) M, P के बहुत पास है, इसलिए FM ≈ FP। अतः FP = FC, यानी F, PC का मध्य बिंदु है:
f = R / 2
यह केवल उपाक्षीय किरणों के लिए सही है। अक्ष से दूर की किरणें दर्पण के थोड़ा पास मिलती हैं। इस धुंधलेपन को गोलीय विपथन कहते हैं।
कार्तीय चिह्न परिपाटी
- सभी दूरियाँ ध्रुव P से नापी जाती हैं।
- प्रकाश बाईं ओर से आता दिखाया जाता है। प्रकाश की दिशा में (दाईं ओर) दूरी +, उल्टी दिशा में (बाईं ओर) −।
- अक्ष से ऊपर की ऊँचाई +, नीचे −।
इसलिए दर्पण के लिए u हमेशा ऋणात्मक है। अवतल दर्पण की f ऋणात्मक, उत्तल की f धनात्मक। वास्तविक प्रतिबिंब (सामने) के लिए v ऋणात्मक, आभासी (पीछे) के लिए v धनात्मक।
दर्पण सूत्र की व्युत्पत्ति
अवतल दर्पण के सामने वस्तु AB रखें (B अक्ष पर)। A से दो किरणें लें: एक अक्ष के समांतर (लौटकर F से जाती है) और एक ध्रुव P की ओर (उतने ही कोण पर लौटती है)। ये A′ पर मिलती हैं; प्रतिबिंब A′B′ है।
चरण 1: समरूप त्रिभुजों के दो जोड़े
त्रिभुज A′B′P और ABP समरूप हैं, इसलिए B′A′ / BA = B′P / BP।
छोटे दर्पण में P के पास दर्पण लगभग सपाट है। त्रिभुज A′B′F और MPF समरूप हैं, और MP = AB, इसलिए B′A′ / BA = B′F / FP।
चरण 2: बराबर रखें
B′P / BP = B′F / FP = (B′P − FP) / FP।
चरण 3: चिह्न लगाएँ
B′P = −v, BP = −u, FP = −f। तो −v / −u = (−v + f) / −f, यानी v/u = (v − f)/f। v से भाग दें: 1/u = 1/f − 1/v, या
1/v + 1/u = 1/f
यही सूत्र उत्तल दर्पण और आभासी प्रतिबिंब के लिए भी चलता है, बस चिह्न सही लगाएँ।
आवर्धन
आवर्धन m = प्रतिबिंब की ऊँचाई ÷ वस्तु की ऊँचाई = h′/h। समरूप त्रिभुजों से m = h′/h = −v/u।
- m ऋणात्मक → प्रतिबिंब उल्टा और वास्तविक।
- m धनात्मक → प्रतिबिंब सीधा और आभासी।
- |m| > 1 → बड़ा; |m| < 1 → छोटा।
m = f/(f − u) = (f − v)/f भी लिख सकते हैं, जब v या u न दिया हो तब काम आता है।
अवतल और उत्तल दर्पण से प्रतिबिंब
| वस्तु | प्रतिबिंब (अवतल) |
|---|---|
| अनंत पर | F पर, वास्तविक, उल्टा, बिंदु जैसा |
| C से परे | F और C के बीच, वास्तविक, उल्टा, छोटा |
| C पर | C पर, वास्तविक, उल्टा, समान आकार |
| C और F के बीच | C से परे, वास्तविक, उल्टा, बड़ा |
| F पर | अनंत पर |
| F और P के बीच | दर्पण के पीछे, आभासी, सीधा, बड़ा |
उत्तल दर्पण हमेशा दर्पण के पीछे P और F के बीच आभासी, सीधा, छोटा प्रतिबिंब बनाता है।
करके देखें: स्टील के चम्मच की f
एक चमकदार स्टील का चम्मच (अंदर की ओर आपकी तरफ) हाथ भर दूर रखें। चेहरा उल्टा दिखेगा: प्रतिबिंब वास्तविक है। अब इसे एक आँख के बहुत पास लाएँ: आँख बड़ी और सीधी दिखेगी। यह बदलाव तब होता है जब आँख फोकस पार करती है। चम्मच पलटें: पीछे की (उत्तल) सतह हमेशा छोटा, सीधा दिखाती है। ऊपर 3D में पहले प्रतिबिंब का अनुमान लगाएँ, फिर वस्तु खींचकर जाँचें।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- f = R / 2
- 1/v + 1/u = 1/f
- m = h′/h = −v/u
- m = f / (f − u) = (f − v) / f
- अवतल: f < 0; उत्तल: f > 0 (कार्तीय चिह्न परिपाटी)
हल किए गए उदाहरण
1. एक अवतल दर्पण की वक्रता त्रिज्या 40 सेमी है। फोकस दूरी ज्ञात करें।
चरण 1: f = R/2। चरण 2: R = −40 सेमी (C सामने है)। चरण 3: f = −40/2 = −20 सेमी। उत्तर: फोकस दूरी 20 सेमी (f = −20 सेमी)।
2. 15 सेमी फोकस दूरी वाले अवतल दर्पण के सामने 30 सेमी पर वस्तु है। प्रतिबिंब की स्थिति और प्रकृति बताएँ।
चरण 1: u = −30, f = −15। चरण 2: 1/v = 1/f − 1/u = −1/15 + 1/30 = −1/30। चरण 3: v = −30 सेमी। चरण 4: m = −v/u = −1। प्रतिबिंब C पर, 30 सेमी सामने, वास्तविक, उल्टा, समान आकार।
3. 2 सेमी ऊँची वस्तु 15 सेमी फोकस दूरी वाले अवतल दर्पण से 10 सेमी दूर है। प्रतिबिंब और उसकी ऊँचाई बताएँ।
चरण 1: u = −10, f = −15। चरण 2: 1/v = −1/15 + 1/10 = 1/30, v = +30 सेमी (दर्पण के पीछे)। चरण 3: m = −30/−10 = +3। चरण 4: h′ = 6 सेमी। आभासी, सीधा, 3 गुना बड़ा।
4. 20 सेमी फोकस दूरी वाले उत्तल दर्पण से 60 सेमी दूर एक कार है। प्रतिबिंब कहाँ और कितना बड़ा है?
चरण 1: u = −60, f = +20। चरण 2: 1/v = 1/20 + 1/60 = 4/60, v = +15 सेमी। चरण 3: m = −15/−60 = +0.25। प्रतिबिंब दर्पण के पीछे 15 सेमी पर, आभासी, सीधा, एक-चौथाई आकार।
5. अवतल दर्पण 60 सेमी दूर पर्दे पर वस्तु से 3 गुना बड़ा वास्तविक प्रतिबिंब बनाता है। वस्तु दूरी और फोकस दूरी बताएँ।
चरण 1: वास्तविक → v = −60, m = −3। चरण 2: −3 = −v/u = 60/u → u = −20 सेमी। चरण 3: 1/f = −1/60 − 1/20 = −4/60। चरण 4: f = −15 सेमी।
6. 12 सेमी फोकस दूरी वाले अवतल दर्पण के सामने वस्तु कहाँ रखें कि दो गुना बड़ा आभासी प्रतिबिंब बने?
चरण 1: आभासी → m = +2, v = −2u। चरण 2: 1/(−2u) + 1/u = 1/f → 1/(2u) = 1/f। चरण 3: u = f/2 = −6 सेमी। वस्तु 6 सेमी सामने (P और F के बीच) रखें।
7. 5 सेमी की मोमबत्ती R = 30 सेमी वाले अवतल दर्पण से 25 सेमी दूर है। इसे 10 सेमी पास लाया गया। प्रतिबिंब कितना खिसकता है?
चरण 1: f = −15। चरण 2: u = −25: 1/v = −1/15 + 1/25 = −2/75, v = −37.5 सेमी। चरण 3: नया u = −15 (F पर): 1/v = 0, प्रतिबिंब अनंत पर। प्रतिबिंब 37.5 सेमी से बहुत दूर चला जाता है; F पर पर्दे पर प्रतिबिंब नहीं बनता।
8. सूत्र से दिखाएँ कि अवतल दर्पण में वास्तविक प्रतिबिंब तभी बनता है जब वस्तु F से परे हो।
चरण 1: v = uf/(u − f), जहाँ u < 0, f < 0। चरण 2: वास्तविक प्रतिबिंब के लिए v < 0। चरण 3: uf धनात्मक है, इसलिए u − f < 0 चाहिए, यानी |u| > |f|। अतः वस्तु F से दूर होनी चाहिए। |u| < |f| हो तो v > 0, प्रतिबिंब आभासी।
आम गलतियाँ
- चिह्न भूल जाना: अवतल दर्पण के लिए f = +15 सेमी रखना। अवतल दर्पण की f ऋणात्मक होती है।
- दर्पण के लिए m = v/u लिखना। दर्पण के लिए m = −v/u है (लेंस के लिए v/u)।
- दर्पण में लेंस वाला सूत्र 1/v − 1/u = 1/f लगाना। दर्पण सूत्र 1/v + 1/u = 1/f है।
- f = R/2 को हर बड़े दर्पण के लिए बिल्कुल सही मानना। यह केवल उपाक्षीय किरणों के लिए है।