चाल, दूरी और समय
चाल बताती है कि एक इकाई समय में कितनी दूरी तय हुई।
चाल = दूरी ÷ समय दूरी = चाल × समय समय = दूरी ÷ चाल
SI मात्रक: मीटर प्रति सेकंड (m/s)। सड़क पर km/h।
- km/h → m/s: 5/18 से गुणा। 72 km/h = 20 m/s।
- m/s → km/h: 18/5 से गुणा। 15 m/s = 54 km/h।
औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय। यह चालों का औसत नहीं है। 60 km, 30 km/h से जाना और 60 km/h से लौटना: समय 2 + 1 = 3 घंटे, औसत चाल 120 ÷ 3 = 40 km/h (45 नहीं)। बराबर दूरियों के लिए औसत चाल = 2xy ÷ (x + y)।
दूरी–समय ग्राफ़
x-अक्ष पर समय, y-अक्ष पर दूरी।
- सीधी तिरछी रेखा = एकसमान चाल। ढलान = चाल।
- ज़्यादा खड़ी रेखा = ज़्यादा तेज़।
- क्षैतिज (सपाट) रेखा = रुका हुआ।
- दो रेखाएँ जहाँ कटें, वहाँ दोनों एक ही समय एक ही जगह (मिलन)।
सापेक्ष चाल और ट्रेनें
- आमने-सामने (विपरीत दिशा): सापेक्ष चाल = a + b।
- एक ही दिशा: सापेक्ष चाल = a − b।
मिलने या पकड़ने का समय = बीच की दूरी ÷ सापेक्ष चाल।
ट्रेन की लंबाई होती है:
- खंभा या व्यक्ति पार करना: दूरी = ट्रेन की लंबाई।
- प्लेटफ़ॉर्म या पुल पार करना: दूरी = ट्रेन + प्लेटफ़ॉर्म।
- दो ट्रेनें एक-दूसरे को पार करें: दूरी = दोनों की लंबाई का जोड़, चाल = सापेक्ष चाल।
नाव और धारा; दौड़
शांत पानी में नाव की चाल u, धारा की चाल v।
- धारा के साथ (अनुप्रवाह): u + v
- धारा के विरुद्ध (ऊर्ध्वप्रवाह): u − v
- इसलिए u = (अनुप्रवाह + ऊर्ध्वप्रवाह) ÷ 2, v = (अनुप्रवाह − ऊर्ध्वप्रवाह) ÷ 2।
दौड़: "100 m दौड़ में A, B को 20 m से हराता है" यानी A के 100 m पूरे होने पर B 80 m पर है। "A, B को 10 m की बढ़त देता है" यानी B 10 m आगे से शुरू करता है। बराबर समय में दूरियाँ चालों के अनुपात में होती हैं।
समय और कार्य; नल और टंकी
कोई काम n दिन में पूरा करे तो उसकी कार्य-दर = प्रतिदिन 1/n काम। साथ काम करने पर दरें जुड़ती हैं।
A 12 दिन, B 6 दिन: साथ में 1/12 + 1/6 = 1/4 प्रतिदिन, यानी 4 दिन।
तय काम के लिए मज़दूर और समय व्युत्क्रमानुपाती हैं: दुगने लोग → आधा समय। समय बनाम मज़दूर का ग्राफ़ नीचे झुकता वक्र है; एक दर पर किया गया काम बनाम समय मूल बिंदु से सीधी रेखा।
नल और टंकी: भरने वाला नल (+), खाली करने वाला नल या रिसाव (−)। 4 घंटे में भरने वाला नल और 12 घंटे में खाली करने वाला रिसाव: 1/4 − 1/12 = 1/6, यानी 6 घंटे।
घर पर करके देखो
पार्क में 20 m नापो और चलकर व दौड़कर समय लो। अपनी चाल m/s और km/h में निकालो। फिर एक नल और दो नल से बाल्टी भरकर देखो कि समय दर-नियम से मिलता है या नहीं।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- चाल = दूरी ÷ समय
- x km/h = x × 5/18 m/s; y m/s = y × 18/5 km/h
- औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय (बराबर दूरी: 2xy/(x+y))
- सापेक्ष चाल: विपरीत = a + b, एक दिशा = a − b
- प्लेटफ़ॉर्म पार करने का समय = (ट्रेन + प्लेटफ़ॉर्म) ÷ चाल
- अनुप्रवाह = u + v; ऊर्ध्वप्रवाह = u − v
- कार्य-दर = 1/n; साथ: 1/a + 1/b; रिसाव: घटाओ
हल किए गए उदाहरण
1. साइकिल सवार 30 मिनट में 9 km जाता है। चाल km/h और m/s में?
30 मिनट = 0.5 घंटा। चाल = 9 ÷ 0.5 = 18 km/h = 18 × 5/18 = 5 m/s।
2. कार 120 km 60 km/h से जाती और 40 km/h से लौटती है। औसत चाल?
जाने में 2 घंटे, लौटने में 3 घंटे। 240 km ÷ 5 घंटे = 48 km/h।
3. 150 m की ट्रेन 54 km/h से चलती है। खंभा और 250 m का पुल पार करने में समय?
54 km/h = 15 m/s। खंभा: 150 ÷ 15 = 10 s। पुल: 400 ÷ 15 ≈ 26.7 s।
4. 120 m और 180 m की ट्रेनें 50 और 40 km/h से विपरीत दिशा में। पार करने में समय?
सापेक्ष चाल 90 km/h = 25 m/s। दूरी 300 m। समय 12 s।
5. नाव 24 km धारा के साथ 2 घंटे में, वापस 4 घंटे में जाती है। नाव और धारा की चाल?
अनुप्रवाह 12, ऊर्ध्वप्रवाह 6 km/h। u = 9 km/h, v = 3 km/h।
6. A एक काम 10 दिन में, B 15 दिन में करता है। साथ में?
1/10 + 1/15 = 5/30 = 1/6, यानी 6 दिन।
7. नल A 5 घंटे, नल B 10 घंटे में भरते हैं; नाली 6 घंटे में खाली करती है। सब खुले हों तो?
1/5 + 1/10 − 1/6 = 4/30 = 2/15। समय = 7.5 घंटे।
8. 100 m दौड़ में A, B को 10 m से और B, C को 10 m से हराता है। A, C को कितने से हराएगा?
A 100 पर B 90 पर। B 90 पर C 81 पर। A, C को 19 m से हराता है।
आम गलतियाँ
- औसत चाल को (x + y) ÷ 2 लेना। हमेशा कुल दूरी ÷ कुल समय।
- मात्रक मिलाना: चाल km/h में और लंबाई m में। पहले बदलो।
- प्लेटफ़ॉर्म या दूसरी ट्रेन पार करते समय ट्रेन की अपनी लंबाई भूलना।
- एक दिशा में चालें जोड़ देना। एक दिशा → घटाओ; विपरीत → जोड़ो।