90° के आगे अनुपात क्यों चाहिए
समकोण त्रिभुज में बाक़ी दोनों कोण 90° से छोटे होते हैं। इसलिए sin, cos, tan अब तक केवल न्यून कोण के लिए थे। पर असली त्रिभुज में अधिक कोण (90° से बड़ा) भी हो सकता है। उसे नापने के लिए हमें 180° तक के sin, cos, tan चाहिए।
तरकीब: मूलबिंदु पर केंद्र वाला त्रिज्या 1 का वृत्त लीजिए। इसे इकाई वृत्त कहते हैं। न्यून कोण θ के लिए वृत्त का बिंदु P, x-अक्ष के साथ एक छोटा समकोण त्रिभुज बनाता है। उसकी ऊँचाई sin θ और आधार cos θ है। हम यही विचार रखते हैं और θ को 90° के आगे बढ़ने देते हैं।
इकाई वृत्त से sin, cos, tan की परिभाषा
कोण θ धनात्मक x-अक्ष से, वामावर्त (घड़ी की उलटी दिशा में) नापिए। वृत्त पर बिंदु P = (x, y) है।
- cos θ = x (बग़ल की दूरी, ऋणात्मक हो सकती है)
- sin θ = y (ऊँचाई, 0° से 180° में धनात्मक)
- tan θ = y ÷ x = sin θ ÷ cos θ (जब x शून्य न हो)
न्यून कोणों के लिए उत्तर समकोण त्रिभुज वाले ही आते हैं। 90° पर बिंदु (0, 1) पर है: cos 90° = 0, sin 90° = 1, और tan 90° परिभाषित नहीं है क्योंकि 0 से भाग नहीं हो सकता।
चिह्न और दर्पण नियम: 180° − θ
अधिक कोण के लिए P बाईं ओर है, इसलिए x ऋणात्मक है।
- sin धनात्मक (0° से 180°)
- cos ऋणात्मक (90° से 180°)
- tan ऋणात्मक (90° से 180°), क्योंकि tan = sin ÷ cos यानी धनात्मक ÷ ऋणात्मक
180° − θ वाला बिंदु, θ वाले बिंदु का y-अक्ष में दर्पण-प्रतिबिंब है। इसलिए:
sin(180° − θ) = sin θ, cos(180° − θ) = −cos θ, tan(180° − θ) = −tan θ।
इससे न्यून कोण से कोई भी अधिक कोण का मान निकालिए: sin 120° = sin 60° = √3/2; cos 120° = −cos 60° = −1/2; tan 120° = −tan 60° = −√3।
0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180° पर मान
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | −1/2 | −√2/2 | −√3/2 | −1 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | – | −√3 | −1 | −√3/3 | 0 |
दो काम की बातें: sin 0° = sin 180° = 0, और cos 180° = −1।
करके देखिए
कोई दरवाज़ा या लैपटॉप का ढक्कन खोलिए। उसे 60° पर रोकिए, फिर 120° पर। ऊपर से सिरे को देखिए: मेज़ से ऊँचाई वही है, पर सिरा क़ब्ज़े के दूसरी ओर है। अब 3D में कोण को 60° और फिर 120° पर ले जाइए और sin व cos की तुलना कीजिए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- cos θ = x, sin θ = y, tan θ = y/x (इकाई वृत्त पर बिंदु)
- sin(180° − θ) = sin θ
- cos(180° − θ) = −cos θ
- tan(180° − θ) = −tan θ
- tan θ = sin θ / cos θ (cos θ = 0 यानी θ = 90° पर परिभाषित नहीं)
- हर θ के लिए sin²θ + cos²θ = 1
हल किए गए उदाहरण
1. sin 135° ज्ञात कीजिए।
sin 135° = sin(180° − 45°) = sin 45° = √2/2 ≈ 0.71।
2. cos 150° ज्ञात कीजिए।
cos 150° = −cos(180° − 150°) = −cos 30° = −√3/2 ≈ −0.87।
3. tan 120° ज्ञात कीजिए।
tan 120° = −tan 60° = −√3 ≈ −1.73। (जाँच: sin 120° ÷ cos 120° = (√3/2) ÷ (−1/2) = −√3।)
4. θ, 0° और 180° के बीच है और sin θ = √3/2 है। θ के सभी संभव मान ज्ञात कीजिए।
sin 60° = √3/2। दर्पण कोण 180° − 60° = 120° का sin भी वही है। इसलिए θ = 60° या 120°।
5. sin θ = 3/5 है और θ अधिक कोण है। cos θ और tan θ ज्ञात कीजिए।
cos²θ = 1 − 9/25 = 16/25, इसलिए cos θ = ±4/5। अधिक कोण में cos ऋणात्मक होता है: cos θ = −4/5। tan θ = (3/5) ÷ (−4/5) = −3/4।
6. एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 6 cm और 8 cm हैं और उनके बीच का कोण 150° है। ½ab sin C से क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
क्षेत्रफल = ½ × 6 × 8 × sin 150° = 24 × ½ = 12 cm²।
7. 0° < θ < 180° के लिए tan θ = −1 है। θ ज्ञात कीजिए।
tan ऋणात्मक है, इसलिए θ अधिक कोण है। tan 45° = 1, इसलिए θ = 180° − 45° = 135°।
आम गलतियाँ
- cos 120° = cos 60° लिख देना। चिह्न बदलता है: cos 120° = −cos 60° = −1/2।
- सोचना कि अधिक कोण में sin ऋणात्मक हो जाता है। 0° से 180° में sin कभी ऋणात्मक नहीं होता।
- tan 90° को 0 या कोई संख्या कह देना। यह बस परिभाषित नहीं है, क्योंकि cos 90° = 0।
- 180° − θ वाला चरण छोड़कर अधिक कोण को ऋणात्मक x-अक्ष से नापना। हमेशा धनात्मक x-अक्ष से शुरू कीजिए।