प्रस्ताव (कथन) क्या है?
प्रस्ताव या कथन ऐसा वाक्य है जो या तो सत्य (स) हो या असत्य (अ), दोनों नहीं। इसे उसका सत्य-मान कहते हैं।
- "5 > 2" सत्य कथन है।
- "7 सम है" असत्य कथन है।
- "दरवाज़ा बंद करो!" और "क्या बारिश हो रही है?" कथन नहीं हैं।
- "x + 2 = 5" अभी कथन नहीं है; यह x पर निर्भर है। ऐसे वाक्य को विधेय (predicate, खुला वाक्य) P(x) कहते हैं।
कथन जोड़ना: NOT, AND, OR, ⇒, ⇔
| p | q | ¬p | p ∧ q | p ∨ q | p ⇒ q | p ⇔ q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| स | स | अ | स | स | स | स |
| स | अ | अ | अ | स | अ | अ |
| अ | स | स | अ | स | स | अ |
| अ | अ | स | अ | अ | स | स |
- निषेधन ¬p: उल्टा मान।
- संयोजन p ∧ q (और): दोनों सत्य हों तभी सत्य।
- वियोजन p ∨ q (या): कम से कम एक सत्य हो तो सत्य।
- सप्रतिबंध कथन p ⇒ q (यदि p तो q): सिर्फ़ स ⇒ अ पर असत्य।
- द्विप्रतिबंधी p ⇔ q (यदि और केवल यदि): दोनों का मान एक जैसा हो तो सत्य।
डी मॉर्गन नियम: ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q; ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q।
विलोम, प्रतिलोम और प्रतिधनात्मक
मूल कथन p ⇒ q: "यदि आकृति वर्ग है, तो वह आयत है।"
- विलोम (converse) q ⇒ p: "यदि आयत है तो वर्ग है।" असत्य।
- प्रतिलोम (inverse) ¬p ⇒ ¬q: "यदि वर्ग नहीं तो आयत नहीं।" असत्य।
- प्रतिधनात्मक (contrapositive) ¬q ⇒ ¬p: "यदि आयत नहीं तो वर्ग नहीं।" सत्य, मूल जैसा।
कथन और उसका प्रतिधनात्मक हमेशा तुल्य होते हैं। इसलिए p ⇒ q सिद्ध करने के लिए ¬q ⇒ ¬p सिद्ध कर सकते हैं।
विरोधाभास द्वारा उपपत्ति: जो सिद्ध करना है उसका उल्टा मान लो और कोई असंभव बात पर पहुँचो। तब उल्टा गलत था, यानी कथन सत्य है।
आवश्यक और पर्याप्त प्रतिबंध, और समुच्चय
अगर p ⇒ q सत्य है:
- p, q के लिए पर्याप्त प्रतिबंध है (p होना q पक्का करने को काफ़ी है)।
- q, p के लिए आवश्यक प्रतिबंध है (q के बिना p नहीं हो सकता)।
समुच्चय में: P = जिनके लिए p सत्य, Q = जिनके लिए q सत्य। तब p ⇒ q का अर्थ P ⊆ Q। अगर p ⇒ q और q ⇒ p दोनों, तो P = Q और p, q के लिए आवश्यक और पर्याप्त है।
उदाहरण: "x = 2" ⇒ "x² = 4"। x = 2 पर्याप्त है, पर आवश्यक नहीं (x = −2 भी)।
परिमाणक: सभी के लिए और कोई है
- सार्वत्रिक ∀ ("सभी के लिए"): ∀x, x² ≥ 0।
- अस्तित्ववाचक ∃ ("कम से कम एक है"): ∃x, x + 3 = 5 (x = 2)।
निषेधन में परिमाणक बदलो और अंदर का भाग उल्टा करो:
- ¬(∀x, P(x)) = ∃x, ¬P(x)। "सब पक्षी नहीं उड़ते" = "कोई पक्षी है जो नहीं उड़ता"।
- ¬(∃x, P(x)) = ∀x, ¬P(x)।
"सभी के लिए" वाले कथन को गलत सिद्ध करने के लिए एक प्रत्युदाहरण काफ़ी है।
करके देखो
कागज़ पर लिखो "अगर बारिश होती है तो ज़मीन गीली होती है।" इसका विलोम, प्रतिलोम और प्रतिधनात्मक लिखो। कौन से दो हमेशा मेल खाते हैं? फिर 3D के आखिरी कदम में p ⇒ q चुनकर जाँचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- p ⇒ q सिर्फ़ p = स, q = अ पर असत्य
- p ⇒ q ≡ ¬q ⇒ ¬p (प्रतिधनात्मक)
- p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q; ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- p ⇒ q: p पर्याप्त, q आवश्यक; P ⊆ Q
- ¬(∀x P(x)) ≡ ∃x ¬P(x); ¬(∃x P(x)) ≡ ∀x ¬P(x)
हल किए गए उदाहरण
1. कौन से कथन हैं? (a) 12, 4 से विभाज्य है (b) खिड़की बंद करो (c) x > 5 (d) 3 + 3 = 7
(a) सत्य कथन, (d) असत्य कथन। (b) आदेश है और (c) विधेय; दोनों कथन नहीं।
2. p: 'आज कार्यदिवस है', q: 'स्कूल खुला है'। p स, q अ। p ∧ q, p ∨ q, p ⇒ q बताओ।
p ∧ q = अ; p ∨ q = स; p ⇒ q = अ (सत्य से असत्य)।
3. 'यदि n, 6 से विभाज्य है तो n सम है' का विलोम और प्रतिधनात्मक लिखो। कौन सत्य हैं?
विलोम: यदि n सम है तो 6 से विभाज्य है। असत्य (n = 4)। प्रतिधनात्मक: यदि n सम नहीं तो 6 से विभाज्य नहीं। सत्य।
4. 'x > 5', 'x > 3' के लिए आवश्यक, पर्याप्त, दोनों या कोई नहीं?
x > 5 ⇒ x > 3, इसलिए पर्याप्त। x = 4 दिखाता है कि आवश्यक नहीं।
5. निषेधन करो: 'कक्षा के हर छात्र के पास फ़ोन है।'
'कक्षा में कम से कम एक छात्र है जिसके पास फ़ोन नहीं है।'
6. विरोधाभास से सिद्ध करो कि √2 को न्यूनतम रूप a/b में नहीं लिख सकते।
मान लो √2 = a/b न्यूनतम रूप में। तब a² = 2b², तो a सम, a = 2k। फिर 4k² = 2b², b² = 2k², तो b भी सम। दोनों सम होना 'न्यूनतम रूप' के विरुद्ध है। इसलिए मान्यता गलत।
आम गलतियाँ
- सोचना कि मूल कथन सत्य है तो विलोम भी सत्य होगा।
- सोचना कि p असत्य हो तो p ⇒ q असत्य है। 'यदि' भाग असत्य हो तो वादा नहीं टूटता, कथन सत्य है।
- 'सब हैं' का निषेधन 'सब नहीं हैं' लिखना। सही है 'कुछ नहीं हैं'।
- आवश्यक और पर्याप्त उलट देना। p ⇒ q में 'यदि' भाग p पर्याप्त, 'तो' भाग q आवश्यक।